Soient les ensembles $A=\{0,2,4\}$ et $B=\{1,3\}$. Calculez $A\times B$ et $B\times A$.

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Solution

L'ensemble $A\times B$ contient tous les couples $(a,b)$ où $a\in A$ et $b\in B$. Par conséquent, en vertu de la définition du produit cartésien:

$$A\times B=\{(0,1),(0,3),(2,1),(2,3),(4,1),(4,3)\}.$$

Similairement, l'ensemble $B\times A$ contient tous les couples $(b,a)$ où $a\in A$ et $b\in B$. Par conséquent, en vertu de la définition du produit cartésien:

$$B\times A=\{(1,0),(1,2),(1,4),(3,0),(3,2),(3,4)\}.$$

On remarque que $A\times B\ne B\times A$, donc le produit cartésien n'est pas commutatif.