Quelles sont les coordonnées des foyers $F_1$ et $F_2$ d'une ellipse d'équation $\frac{(x-7{)}^2}{32}+\frac{(y-6{)}^2}{16}=1$?

---

Solution

À partir de l'équation canonique de l'ellipse, nous pouvons constater que $\frac{(x-7{)}^2}{32}+\frac{(y-6{)}^2}{16}=1$ décrit une ellipse horizontale centrée en $Q=(7,6)$, puisque $a^2=32⟹a=4\sqrt{2}$ et $b^2=16⟹b=4$, ce qui implique que $a>b$. Par conséquent, les foyers $F_1$ et $F_2$ se retrouvent sur l'axe horizontal de l'ellipse, ce qui implique que le segment de droite $\overline{F_1{F}_2}$ est horizontal. Il en revient à dire que $F_1=(h-c,k)$ et $F_2=(h+c,k)$, puisque $d(F_1,Q)=d(Q,F_2)=c$. À partir de la formule de la distance entre le centre et un foyer d'une ellipse,

$$\begin{array}{rl}c& =\sqrt{|a^2-b^2|}\\ & =\sqrt{|32-16|}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$$

Par conséquent, $F_1=(h-c,k)=(3,6)$ et $F_2=(h+c,k)=(11,6)$.