Quelle est l'équation du cercle tangent à la droite $y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$ en $P=(3,4)$ et tangent à la droite $4x-3y=49$ en $M=(10,-3)$?

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Solution

La droite perpendiculaire à une droite tangente à un cercle intersecte son centre. Connaissant l'équation de deux droites tangentes, l'intersection de leur droite perpendiculaire partant de leur point de tangence auront pour solution le centre du cercle. Il faut trouver les équations de ces droites perpendiculaires.

Pour déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à $y=\frac{3}{4}x+\frac{7}{4}$ passant par le point $P=(3,4):$

$$\begin{array}{rl}& \\ m_1& =-\frac{1}{m_2}\\ & =-\frac{1}{\frac{3}{4}}\\ & =-\frac{4}{3}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}y-y_P& =m_1(x-x_P)\\ y-4& =-\frac{4}{3}(x-3)\\ y& =-\frac{4}{3}(x-3)+4\\ & =-\frac{4}{3}x+4+4\\ & =-\frac{4}{3}x+8.\end{array}$$

Pour déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à $4x-3y=49$ passant par le point $M=(10,-3):$

$$\begin{array}{rl}4x-3y& =49\\ -3y& =-4x+49\\ y& =\frac{4}{3}x-\frac{49}{3}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}& \\ m_1& =-\frac{1}{m_2}\\ & =-\frac{1}{\frac{4}{3}}\\ & =-\frac{3}{4}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}y-y_M& =m_1(x-x_M)\\ y-(-3)& =-\frac{3}{4}(x-10)\\ y+3& =-\frac{3}{4}x+\frac{30}{4}\\ y& =-\frac{3}{4}x+\frac{15}{2}-3\\ & =-\frac{3}{4}x+\frac{15-6}{2}\\ & =-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}.\end{array}$$

Il faut désormais résoudre le système d'équations linéaires $\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{3}x+8\\ y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}\end{array}$.

$$\begin{array}{rl}-\frac{4}{3}x+8& =-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}\\ \frac{3}{4}x-\frac{4}{3}x& =\frac{9}{2}-8\\ \frac{9-16}{12}x& =\frac{9-16}{2}\\ \frac{-7}{12}x& =\frac{-7}{2}\\ x& =\frac{-7}{2}\cdot \frac{12}{-7}\\ & =6\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}y& =-\frac{4}{3}x+8\\ & =-\frac{4}{3}\cdot 6+8\\ & =-8+8\\ & =0\end{array}$$

Alors, les coordonnées du centre du cercle sont $Q=(6,0)$. Il faut maintenant trouver la valeur de son rayon $r$, qui équivaut à la longueur des segments $\overline{QP}$ et $\overline{QM}$.

$$\begin{array}{rl}r& =d(Q,P)\\ & =\sqrt{(x_P-x_Q{)}^2+(y_P-y_Q{)}^2}\\ r^2& =(3-6{)}^2+(4-0{)}^2\\ & =9+16\\ & =25\end{array}$$

À partir de l'équation canonique du cercle, la réponse est:

$$(x-6{)}^2+y^2=25.$$