Soit une droite d'équation $2x+3y=30$ tangente à un cercle centré en $Q=(4,k)$. Si le point de tangence entre la droite et le cercle est $P=(6,6)$, quelle est l'équation du cercle?

---

Solution

Le premier élément du problème que nous cherchons est la valeur de $k$. En vertu de la perpendicularité de la droite tangente au cercle par rapport au segment reliant le point de tangence et le centre du cercle, alors $\overline{QP}$ est perpendiculaire à la droite $2x+3y=30$. Réécrivons la droite sous forme canonique $y=m_{2}x+b$.

$$\begin{array}{rl}2x+3y& =30\\ 3y& =-2x+30\\ y& =-\frac{2}{3}x+10\end{array}$$

La droite perpendiculaire $y=m_{1}x+b$ à cette dernière s'obtient à partir de la relation entre leur taux de variation et du point $P$.

$$\begin{array}{rl}{m}_1& =-\frac{1}{m_2}\\ & =-\frac{1}{-\frac{2}{3}}\\ & =\frac{3}{2}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}y-y_1& =m(x-x_1)\\ y-6& =m_1(x-6)\\ y& =\frac{3}{2}(x-6)+6\\ & =\frac{3}{2}x-9+6\\ & =\frac{3}{2}x-3\end{array}$$

Cette droite intersecte le point de tangence $P$ ainsi que le centre du cercle $Q=(4,k)$.

$$\begin{array}{rl}y& =\frac{3}{2}x-3\\ & =\frac{3}{2}\cdot 4-3\\ & =6-3\\ & =3\end{array}$$

Alors, $Q=(4,3)$. Le second élément du problème qu'il nous faut trouver à présent est la valeur du rayon $r=d(Q,P)$, ou plutôt $r^2$ pour l'équation du cercle.

$$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{(x_P-x_Q{)}^2+(y_P-y_Q{)}^2}\\ r^2& =(x_P-x_Q{)}^2+(y_P-y_Q{)}^2\\ & =(6-4{)}^2+(6-3{)}^2\\ & =4+9\\ & =13\end{array}$$

À partir de l'équation canonique du cercle, la réponse est:

$$(x-4{)}^2+(y-3{)}^2=13.$$