Quelle est l'équation d'une ellipse centrée en $Q=(6,4)$ si $a=4\sqrt{10}$, et $P=(16,10)$ est sur la courbe?

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Solution

L'ellipse $\mathcal{E}$ est centrée en $Q$, alors $(h,k)=(6,4)$. À partir de l'équation canonique des ellipses, il sera possible de trouver la valeur de $b^2$ en y substituant les coordonnées de $P$ puisque $P\in E$.

$$\begin{array}{rl}\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1\\ \frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}\\ \frac{b^2}{(y-k{)}^2}& =\frac{1}{1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}}\\ b^2& =\frac{(y-k{)}^2}{1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}}\\ & =\frac{(y-4{)}^2}{1-\frac{(x-6{)}^2}{(4\sqrt{10}{)}^2}}\\ & =\frac{(10-4{)}^2}{1-\frac{(16-6{)}^2}{160}}\\ & =\frac{36}{1-\frac{100}{160}}\\ & =\frac{36}{\frac{60}{160}}\\ & =\frac{36}{\frac{3}{8}}\\ & =\frac{36\cdot 8}{3}\\ & =96\end{array}$$

Alors, l'équation de l'ellipse est:

$$\mathcal{E}:\frac{(x-6{)}^2}{160}+\frac{(y-4{)}^2}{96}=1.$$