Quelle est l'équation canonique d'une ellipse dont les foyers sont $F_1=(-5,6)$ et $F_2=(-5,-4)$ si $a=3$?

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Solution

Le segment de droite $\overline{F_1{F}_2}$ est vertical puisque $x_{F_1}=x_{F_2}$, ce qui implique que l'ellipse est verticale. Par conséquent, $a<b$, et donc $a^2<b^2$, de telle sorte que $|a^2-b^2|=-(a^2-b^2)$. Le point milieu des foyers $F_1$ et $F_2$ correspond au centre $Q=(h,k)$ de l'ellipse. Alors, $Q=\left(-5,\frac{y_{F_1}+y_{F_2}}{2}\right)=(-5,1)$.

Sachant que $c$ correspond à la distance entre l'un ou l'autre des foyers et $Q$, alors $c=5$. Il sera possible de déterminer la valeur de $b^2$ à l'aide de la formule de la distance entre le centre d'une ellipse et ses foyers.

$$\begin{array}{rl}c& =\sqrt{|a^2-b^2|}\\ c^2& =|a^2-b^2|\\ & =-(a^2-b^2)\\ & =b^2-a^2\\ b^2& =c^2+a^2\\ & =5^2+3^2\\ & =34\end{array}$$

Enfin, à partir de l'équation canonique des ellipses, l'équation de l'ellipse est $\frac{(x+5{)}^2}{9}+\frac{(y-1{)}^2}{34}=1$.