Soit la fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:x\mapsto \sqrt[5]{x-k}$ où $k$ est un réel quelconque. Déterminez si $f$ est bijective.

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Solution

Si $f$ est bijective, alors elle est injective et surjective. Pour démontrer que $f$ est injective, soient $a$ et $b$ faisant partie de son domaine, et supposons que $f(a)=f(b)$. Il est alors possible de dégager ce raisonnement:

$$\begin{array}{rl}f(a)& =f(b)\\ \sqrt[5]{a-k}& =\sqrt[5]{b-k}\\ a-k& =b-k\\ a& =b.\end{array}$$

Par conséquent, puisque deux préimages doivent être égales pour que deux images de $f$ correspondent, $f$ est injective.

Pour démontrer que $f$ est surjective, on pose $A=\mathbb{R}$ le domaine de $f$ et $B=\mathbb{R}$ le codomaine de $f$. Pour tous les éléments $b$ appartenant à $B$, on remarque que $f(b^5+k)=b$, de telle sorte que $(b^5+k)\in A$ et $b\in B$. Par conséquent, $f$ est surjective.

Puisque $f$ est injective et surjective, $f$ est bijective.