Soit un cercle centré en $Q=(-3,-2)$ et le point $P=(-1,2)$ sur sa circonférence. Quelle est l'équation de la droite tangente au cercle au point $P$?

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Solution

Sachant que la droite tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon reliant son centre au point de tangence, alors il faut trouver le taux de variation $m_1$ de la droite $\overline{QP}$.

$$\begin{array}{rl}{m}_1& =\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ & =\frac{y_P-y_Q}{x_P-x_Q}\\ & =\frac{2--2}{-1--3}\\ & =\frac{4}{2}\\ & =2\end{array}$$

Connaissant la relation entre les taux de variation de droites perpendiculaires $m_1=-\frac{1}{m_2}$, et l'équation d'une droite passant par un point $(x_1,y_1)$ étant $y-y_1=m(x-x_1)$, l'équation de la droite tangente au cercle est:

$$\begin{array}{rl}y-y_P& =m_2(x-x_P)\\ y-2& =-\frac{1}{2}(x--1)\\ y& =-\frac{1}{2}(x+1)+2\\ & =-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}.\end{array}$$