Passer de la forme générale à la forme canonique de l'équation d'une ellipse Exemple

Quelle est l'équation canonique d'une ellipse d'équation $9 x^{2} + 4 y^{2} + 18 x - 12 y - 27 = 0$ ?

Solution

On utilisera la méthode de la complétion du carré.

 $9 x^{2} + 4 y^{2} + 18 x - 12 y - 27 9 x^{2} + 18 x + 4 y^{2} - 12 y - 27 9 (x^{2} + 2 x) + 4 (y^{2} - 3 y) - 27 9 (x^{2} + 2 x + 1) + 4 (y^{2} - 3 y + (\frac{- 3}{2})^{2}) - 27 9 (x + 1)^{2} + 4 (y - \frac{3}{2})^{2} 9 (x + 1)^{2} + 4 (y - \frac{3}{2})^{2} \frac{9 ( x + 1 ) ^{2}}{45} + \frac{4 ( y - \frac{3}{2} ) ^{2}}{45} \frac{( x + 1 ) ^{2}}{5} + \frac{( y - \frac{3}{2} ) ^{2}}{\frac{45}{4}} = 0 = 0 = 0 = 9 \cdot 1 + 4 (\frac{- 3}{2})^{2} = 27 + 9 + 9 = 45 = 1 = 1$

La réponse est donc $\frac{( x + 1 ) ^{2}}{5} + \frac{( y - \frac{3}{2} ) ^{2}}{\frac{45}{4}} = 1$ .