Passer de la forme générale à la forme canonique de l'équation d'une ellipse Exemple

Quelle est l'équation canonique d'une ellipse d'équation $x^{2} + 2 y^{2} + 4 y = 0$ ?

Solution

Il faut factoriser l'équation pour en dégager les paramètres $h$ et $k$ . On divisera ensuite l'expression de gauche par l'expression de droite pour qu'elle soit égale à $1$ . Il faut se souvenir qu'on ne peut appliquer la complétion du carré sur une expression $a x^{2} + b x + c$ que si $a = 1$ .

 $x^{2} + 2 y^{2} + 4 y = x^{2} + 2 (y^{2} + 2 y) = x^{2} + 2 (y^{2} + 2 y + 1) = x^{2} + 2 (y^{2} + 1)^{2} = \frac{x ^{2}}{2} + (y^{2} + 1)^{2} = 00 2 (1) 21$

La réponse est donc $\frac{x ^{2}}{2} + (y^{2} + 1)^{2} = 1$ .