Soit la fonction $f(x)=x^2$. Quelle est l'expression de $f$ en notation fonctionnelle si l'univers du discours est l'ensemble des réels?

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Solution

Soient $A$ le domaine de $f$, et $B$ son codomaine. L'univers du discours de l'énoncé est l'ensemble des réels, de telle sorte que $A\subseteq \mathbb{R}$ et $B\subseteq \mathbb{R}$. Par définition, on peut dire que $B=\mathbb{R}$, puisque l'image d'une fonction est un sous-ensemble de son codomaine. En revanche, il peut être utile de déterminer l'image de $f$ pour sa notation fonctionnelle. La fonction $f(x)=x^2$ est déterminée pour toutes les valeurs de $x$ appartenant aux réels, c'est-à-dire que $x^2$ existe pour toutes les valeurs réelles de $x$. Par conséquent, $A=\mathbb{R}$. Par ailleurs, il n'existe pas de valeur réelle de $x$ qui rende $x^2$ négative. Ce faisant, $B={\mathbb{R}}_{\ge 0}$, l'ensemble des réels positifs incluant $0$. Par conséquent, la notation fonctionnelle de $f$ est $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$.