Soit un cercle d'équation $x^2+(y-5{)}^2=4$ et une droite d'équation $y=x+1$. Quels sont leurs points d'intersection s'il y en a?

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Solution

Il suffit de substituer l'équation de la droite dans celle du cercle pour éliminer une des variables manquantes.

$$\begin{array}{rl}{x}^2+(y-5{)}^2& =4\\ x^2+(x+1-5{)}^2& =4\\ x^2+(x-4{)}^2& =4\\ x^2+x^2-8x+16& =4\\ 2x^2-8x+12& =0\\ x^2-4x+6& =0\\ x& =\frac{4\pm \sqrt{(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 6}}{2\cdot 1}\\ & =\frac{4\pm \sqrt{16-24}}{2}\\ & =\frac{4\pm \sqrt{-8}}{2}\end{array}$$

Puisque le discriminant de l'équation $x^2-4x+6=0$ est négatif, il n'y a pas de solutions à l'équation. Par conséquent, il n'y a pas de point d'intersection entre le cercle et la droite.