Intersection d'un cercle et d'une droite en deux points Exemple

Soit un cercle d'équation $(x - 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ et une droite d'équation $y = - 2 x + 10$ . Quels sont leurs points d'intersection s'il y en a?

Solution

Il suffit de substituer l'équation de la droite dans celle du cercle pour éliminer une des variables manquantes.

 $(x - 5)^{2} + (y - 2)^{2} (x - 5)^{2} + (- 2 x + 10 - 2)^{2} (x - 5)^{2} + (- 2 x + 8)^{2} (x^{2} - 10 x + 25) + (4 x^{2} - 32 x + 64) 5 x^{2} - 10 x - 32 x + 64 5 x (x - 2) - 32 (x - 2) (5 x - 32) (x - 2) = 25 = 25 = 25 = 25 = 0 = 0 = 0$

Ici, l'équation $(5 x - 32) (x - 2) = 0$ est satisfaite si $5 x - 32 = 0$ ou $x - 2 = 0$ . Par conséquent:

 $x \in {\frac{32}{5}, 2} .$

Connaissant l'abscisse des points de la solution, il ne reste plus qu'à substituer leur valeur dans l'équation de la droite.

 $y = - 2 x + 10 = - 2 (\frac{32}{5}) + 10 = - \frac{64}{5} + 10 = \frac{50 - 64}{5} = - \frac{14}{5}$

 $y = - 2 x + 10 = - 2 (2) + 10 = 6$

Les points d'intersection entre la droite et le cercle sont donc $(\frac{32}{5}, - \frac{14}{5})$ et $(2, 6)$ .

Exemple d'intersection entre un cercle et une droite en deux points. — Figure 1

Réponse à l'exemple.