Soit un cercle d'équation $x^2+(y-1{)}^2=5$ et une droite d'équation $y-2x=6$. Quels sont leurs points d'intersection s'il y en a?

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Solution

Il suffit d'isoler $x$ ou $y$ dans l'équation de la droite et de substituer l'équation résultante dans l'équation du cercle pour éliminer une des variables manquantes.

$$\begin{array}{rl}y-2x& =6\\ y& =6+2x\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{x}^2+(y-1{)}^2& =5\\ x^2+(6+2x-1{)}^2& =5\\ x^2+(5+2x{)}^2& =5\\ x^2+25+20x+4x^2& =5\\ 5x^2+20x+25& =5\\ x^2+4x+5& =1\\ x^2+4x+4& =0\\ (x+2{)}^2& =0\\ x+2& =0\\ x& =-2\end{array}$$

Connaissant l'abscisse du point de la solution, il ne reste plus qu'à la substituer dans l'équation de la droite.

$$\begin{array}{rl}y& =6+2x\\ y& =6+2(-2)\\ y& =2\end{array}$$

Le point d'intersection entre la droite et le cercle est donc $(-2,2)$.