Quelles sont les coordonnées des points d'intersection entre la droite $y=5x$ et l'ellipse d'équation $(x+2{)}^2+\frac{(y+1{)}^2}{10}=1$?

---

Solution

Il suffit de substituer l'équation de la droite dans celle de l'ellipse pour éliminer une des variables inconnues.

$$\begin{array}{rl}(x+2{)}^2+\frac{(y+1{)}^2}{10}& =1\\ (x+2{)}^2+\frac{(5x+1{)}^2}{10}& =1\\ (x^2+4x+4)+\frac{(25x^2+10x+1)}{10}& =1\\ \frac{10x^2+40x+40}{10}+\frac{25x^2+10x+1}{10}& =1\\ 10x^2+40x+40+25x^2+10x+1& =10\\ 35x^2+50x+31& =0\\ x& =\frac{-50\pm \sqrt{50^2-4\cdot 35\cdot 31}}{2\cdot 35}\\ & =\frac{-50\pm \sqrt{2500-4340}}{70}\\ & =\frac{-50\pm \sqrt{-1840}}{70}\end{array}$$

Puisque le discriminant de l'équation $35x^2+50x+31=0$ est négatif, il n'y a pas de solutions à l'équation. Par conséquent, il n'y a pas de point d'intersection entre l'ellipse et la droite.