Quels sont les points d'intersection entre l'ellipse d'équation $\frac{x^2}{45}+\frac{(y-4{)}^2}{9}=1$ et la droite d'équation $y=-\frac{2}{5}x+4$ s'il y en a?

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Solution

Il suffit de substituer l'équation de la droite dans celle de l'ellipse pour éliminer une des variables manquantes.

$$\begin{array}{rl}\frac{x^2}{45}+\frac{(y-4{)}^2}{9}& =1\\ \frac{x^2}{45}+\frac{{\left(-\frac{2}{5}x+4-4\right)}^2}{9}& =1\\ \frac{x^2}{45}+\frac{{\left(-\frac{2}{5}x\right)}^2}{9}& =1\\ \frac{x^2}{45}+\frac{1}{9}{\left(-\frac{2}{5}\right)}^2{x}^2& =1\\ \frac{x^2}{45}+\frac{1}{9}\cdot \frac{4}{25}{x}^2& =1\\ x^2\left(\frac{1}{45}+\frac{4}{9\cdot 25}\right)& =1\\ x^2\left(\frac{5}{225}+\frac{4}{225}\right)& =1\\ x^2\left(\frac{9}{225}\right)& =1\\ x^2& =\frac{225}{9}\\ |x|& =\frac{15}{3}\\ x& \in \{-5,5\}\end{array}$$

Connaissant les valeurs d'abscisses des points d'intersection entre la droite et l'ellipse, il ne reste plus qu'à les substituer dans l'équation de la droite.

$$\begin{array}{rl}y& =-\frac{2}{5}x+4\\ & =-\frac{2}{5}\cdot 5+4\\ & =2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}y& =-\frac{2}{5}x+4\\ & =-\frac{2}{5}\cdot -5+4\\ & =6\end{array}$$

Les points d'intersection entre la droite et l'ellipse sont donc $(-5,6)$ et $(5,2)$.