Quelles sont les coordonnées du point de tangence $P$ de la droite $y=\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}$ et de l'ellipse d'équation $\frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{(y-6{)}^2}{18}=1$?

---

Solution

Sachant que $P$ est un point de tangence, il ne devrait y avoir qu'un seul point d'intersection entre la droite et l'ellipse. Il faut substituer l'équation de la droite dans celle de l'ellipse.

$$\begin{array}{rl}\frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{(y-6{)}^2}{18}& =1\\ \frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{{\left(\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}-6\right)}^2}{18}& =1\\ \frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{{\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\right)}^2}{18}& =1\\ \frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{{\left(\frac{1}{2}(x+5)\right)}^2}{18}& =1\\ \frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{(x+5{)}^2}{72}& =1\\ 72\frac{(x-4{)}^2}{9}+(x+5{)}^2& =72\\ 8(x-4{)}^2+(x+5{)}^2& =72\\ 8(x^2-8x+16)+(x^2+10x+25)& =72\\ 9x^2-54x+81& =0\\ 9(x^2-6x+9)& =0\\ (x-3{)}^2& =0\\ x& =3\end{array}$$

Il ne reste plus qu'à substituer l'abscisse du point de tangence dans l'équation de la tangente pour trouver son ordonnée.

$$\begin{array}{rl}y& =\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{17}{2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{17}{2}\\ & =\frac{20}{2}\\ & =10\end{array}$$

Alors, le point de tangence entre la droite et l'ellipse est $P=(3,10)$.