Soit la fonction $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}:x\mapsto mx+k$, où $m,k\in \mathbb{R}$ et $m\ne 0$. Calculez la réciproque de $f$.

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Solution

La fonction $f$ est linéaire, et son taux de variation est $m$. Par conséquent, $f$ sera strictement croissante si $m>0$, et elle sera strictement décroissante si $m<0$, ce qui implique que $f$ est injective.

Soient les ensembles $A=\mathbb{R}$ et $B=\mathbb{R}$ le domaine et le codomaine de $f$ respectivement. Pour tous les éléments $b$ appartenant à $B$, on remarque que $f\left(\frac{b-k}{m}\right)=b$, de telle sorte que $\left(\frac{b-k}{m}\right)\in A$ et $b\in B$. Par conséquent, $f$ est surjective.

Puisque $f$ est injective et surjective, $f$ est bijective. Ce faisant, sa fonction réciproque sera bien définie. Soient $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ la réciproque de $f$, et $f(x)=y$. En permutant $x$ et $y$ dans l'expression de $f$ pour exprimer $g(x)=y:$

$$x=my+k⟺y=\frac{x-k}{m}.$$

Ce faisant, $g(x)=\frac{x-k}{m}$.