Soit la fonction $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}:x\mapsto (x-h{)}^2$, où $h\in \mathbb{R}$. Calculez la réciproque de $f$.

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Solution

La fonction $f$ est quadratique, ce qui implique qu'elle n'est pas injective. En effet, l'expression $x^2$ est paire, et $f$ est une transformation de $x^2$. En revanche, il est possible de séparer le domaine de $f$ en deux intervalles où la fonction est injective. Soient $f_1:{\mathbb{R}}_{<h}\to {\mathbb{R}}_{>0}$ et $f_2:{\mathbb{R}}_{\ge h}\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$. La fonction $f_1$ est strictement décroissante, et $f_2$ est croissante, donc toutes deux sont injectives.

Soient les ensembles $A=\mathbb{R}$ et $B={\mathbb{R}}_{\ge 0}$ le domaine et le codomaine de $f$ respectivement. Pour tous les éléments $b$ appartenant à $B$, on remarque que $f(\sqrt{b}+h)=b$, de telle sorte que $(\sqrt{b}+h)\in A$ et $b\in B$. Par conséquent, $f$ est surjective.

Puisque $f$ est surjective, les fonctions $f_1$ et $f_2$ sont aussi surjectives. Par conséquent, $f_1$ et $f_2$ sont bijectives. Ce faisant, la bijection de $f$ s'exprime en deux fonctions.

Soient $g_1:{\mathbb{R}}_{>0}\to {\mathbb{R}}_{<h}$ la réciproque de $f_1$, et $f_1(x)=y$. En permutant $x$ et $y$ dans l'expression de $f_1$ pour exprimer $g_1(x)=y:$

$$\begin{array}{rl}x=(y-h{)}^2& ⟺\sqrt{x}=|y-h|\\ & ⟺\sqrt{x}=-(y-h)\\ & ⟺g_1(x)=h-\sqrt{x}.\end{array}$$

Similairement, soient $g_2:{\mathbb{R}}_{\ge 0}\to {\mathbb{R}}_{\ge h}$ la réciproque de $f_2$, et $f_2(x)=y$. En permutant $x$ et $y$ dans l'expression de $f_2$ pour exprimer $g_2(x)=y:$

$$\begin{array}{rl}x=(y-h{)}^2& ⟺\sqrt{x}=|y-h|\\ & ⟺\sqrt{x}=y-h\\ & ⟺g_2(x)=h+\sqrt{x}.\end{array}$$

Par conséquent, la réciproque de $f$ est $g_1:{\mathbb{R}}_{>0}\to {\mathbb{R}}_{<h}:x\mapsto h-\sqrt{x}$ et $g_2:{\mathbb{R}}_{\ge 0}\to {\mathbb{R}}_{\ge h}:x\mapsto h+\sqrt{x}$.