Pour quelles valeurs de $\theta$ est-ce que $\csc (\theta )=-\sqrt{2}$?

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Solution

Partant de la définition de la fonction cosécante comme l'inverse multiplicatif de la fonction sinus:

$$\csc (\theta )=-\sqrt{2}⟺\sin (\theta )=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ce faisant, à partir du cercle trigonométrique, ${\theta }_1=\mathrm{arccsc}\left(-\sqrt{2}\right)=-\frac{\pi }{4}$. La deuxième solution de l'équation est donc ${\theta }_2=\pi -{\theta }_1=\frac{5\pi }{4}$ selon l'expression de l'ensemble solution pour la fonction cosécante de base. La période de $\csc (\theta )$ dans l'équation est $2|b|\pi =2\pi$, alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$, la valeur de $\theta$ peut être ${\theta }_1+2n\pi$ ou ${\theta }_2+2n\pi$. Par conséquent:

$$\theta \in \left\{\dots ,-\frac{9\pi }{4},-\frac{3\pi }{4},-\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4},\frac{13\pi }{4},\dots \right\}.$$