Pour quelles valeurs de $\theta$ est-ce que $\frac{1}{2}\csc \left(\frac{\pi }{2}(\theta -4)\right)=1$?

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Solution

Soit $\alpha =\frac{\pi }{2}(\theta -4)$, tel que $\frac{1}{2}\csc (\alpha )=1$, donc $\csc (\alpha )=2$. À partir de la définition de la fonction cosécante comme l'inverse multiplicatif de la fonction sinus:

$$\csc (\alpha )=2⟺\sin (\alpha )=\frac{1}{2}.$$

Ce faisant, à partir du cercle trigonométrique, ${\alpha }_1=\mathrm{arccsc}(2)=\frac{\pi }{6}$. Par conséquent, à partir de l'expression de l'ensemble solution de la fonction cosécante de base, la deuxième solution de l'équation est ${\alpha }_2=\pi -{\alpha }_1=\frac{5\pi }{6}$. Partant de la substitution effectuée précédemment:

$$\alpha =\frac{\pi }{2}(\theta -4)⟺\theta =\frac{2\alpha }{\pi }+4.$$

Ce faisant, ${\theta }_1=\frac{2{\alpha }_1}{\pi }+4=\frac{13}{3}$, et ${\theta }_2=\frac{2{\alpha }_2}{\pi }+4=\frac{17}{3}$. Dans l'équation initiale, on constate que $b=\frac{\pi }{2}$. Par conséquent, la période de la fonction cosécante est $2|b|\pi =\frac{2\cdot 2\pi }{\pi }=4$, alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$, la valeur de $\theta$ peut être ${\theta }_1+4n$ ou ${\theta }_2+4n$. Par conséquent:

$$\theta \in \left\{\dots ,\frac{1}{3},\frac{5}{3},\frac{13}{3},\frac{17}{3},\frac{25}{3},\frac{29}{3},\dots \right\}.$$