Pour quelles valeurs de $\theta$ est-ce que $\cot (\theta -\pi /4)=-1$?

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Solution

Soit $\alpha =\theta -\pi /4$, tel que $\cot (\alpha )=-1$. Sachant que la fonction arc cotangente est définie pour la moitié supérieure du cercle unitaire, une solution de $\alpha$ dans l'équation doit être dans le quadrant 2 puisque $-1$ est négatif. Sachant cela, à partir du cercle trigonométrique et de la définition de la fonction cotangente comme le ratio abscisse/ordonnée d'un point trigonométrique:

$${\alpha }_0=\mathrm{arccot}(-1)=\mathrm{arccot}\left(\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)=\frac{3\pi }{4}.$$

Ce faisant, à partir de la substitution effectuée précédemment:

$$\alpha =\theta -\pi /4⟺\theta =\alpha +\pi /4.$$

Alors, ${\theta }_0={\alpha }_0+\pi /4=\pi$. Dans l'équation initiale, on constate que $b=1$. Par conséquent, la période de la fonction cotangente est $|b|\pi =\pi$, alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$, la valeur de $\theta$ peut être ${\theta }_0+n\pi$. Par conséquent:

$$\theta \in \left\{\dots ,0,\pi ,2\pi ,\dots \right\}.$$