Pour quelles valeurs de $\theta$ est-ce que $\tan (\theta )=\sqrt{3}$?

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Solution

Sachant que la fonction arc tangente est définie pour la moitié droite du cercle unitaire, une solution de $\theta$ dans l'équation doit être dans le quadrant 1 puisque $\sqrt{3}$ est positive. Sachant cela, à partir du cercle trigonométrique et de la définition de la fonction tangente comme le ratio ordonnée/abscisse d'un point trigonométrique:

$${\theta }_0=\arctan (\sqrt{3})=\arctan \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right)=\frac{\pi }{3}.$$

La période de la fonction tangente dans l'équation est $|b|\pi =\pi$, alors pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$, la valeur de $\theta$ peut être ${\theta }_0+n\pi$. Par conséquent:

$$\theta \in \left\{\dots ,-\frac{2\pi }{3},\frac{\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\dots \right\}.$$