Pour quelles valeurs de $\theta$ est-ce que $\sqrt{3}\tan (\pi \theta -\pi /3)+1=0$?

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Solution

Soit $\alpha =\pi \theta -\pi /3$, tel que $\sqrt{3}\tan (\alpha )+1=0$, donc $\tan (\alpha )=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Sachant que la fonction arc tangente est définie pour la moitié droite du cercle unitaire, une solution de $\alpha$ dans l'équation doit être dans le quadrant 4 puisque $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ est négatif. Sachant cela, à partir du cercle trigonométrique et de la définition de la fonction tangente comme le ratio ordonnée/abscisse d'un point trigonométrique:

$${\alpha }_0=\arctan \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\arctan \left(\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)=-\frac{\pi }{6}.$$

Ce faisant, à partir de la substitution effectuée précédemment:

$$\alpha =\pi \theta -\pi /3⟺\theta =\frac{\alpha }{\pi }+\frac{1}{3}.$$

Alors, ${\theta }_0=\frac{{\alpha }_0}{\pi }+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$. Dans l'équation initiale, on constate que $b=\frac{1}{\pi }$. Par conséquent, la période de la fonction tangente est $|b|\pi =\frac{\pi }{\pi }=1$, alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $\mathbb{Z}$, la valeur de $\theta$ peut être ${\theta }_0+n$. Par conséquent:

$$\theta \in \left\{\dots ,-\frac{5}{6},\frac{1}{6},\frac{7}{6},\dots \right\}.$$