Les fonctions trigonométriques inverses

Les fonctions trigonométriques inverses permettent de résoudre des équations comprenant des fonctions trigonométriques. Cependant, puisque les fonctions trigonométriques sont transcendantales, il n'y a pas d'expression rationnelle qui inverse leur application. Par ailleurs, toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques, ce qui implique qu'il doit y avoir des intervalles de bijection choisis par convention dans la définition de leurs inverses.

Rappel 1 : Les points trigonométriques

Un point $P$ est trigonométrique si $P = (x, y)$ en coordonnées cartésiennes avec $x^{2} + y^{2} = 1$ , c'est-à-dire que le point se situe sur le cercle unitaire centré à l'origine. On associe alors un angle $θ$ à $P$ à partir de l'horizontale, et on exprime $P$ en coordonnées polaires $P = (r, θ)$ , avec distance $r$ (dite coordonnée radiale ou rayon) et angle $θ$ (dit coordonnée angulaire ou angle polaire).

Graphique d'un point trigonométrique dans le quadrant 1. — Figure 1

Le graphique d'un point trigonométrique $P (1, θ)$ dans le quadrant 1, avec $0 \leq θ < π /2$ .

Graphique d'un point trigonométrique dans le quadrant 2. — Figure 2

Le graphique d'un point trigonométrique $P (1, θ)$ dans le quadrant 2, avec $π /2 \leq θ < π$ .

Graphique d'un point trigonométrique dans le quadrant 3. — Figure 3

Le graphique d'un point trigonométrique $P (1, θ)$ dans le quadrant 3, avec $π \leq θ < 3 π /2$ .

Graphique d'un point trigonométrique dans le quadrant 4. — Figure 4

Le graphique d'un point trigonométrique $P (1, θ)$ dans le quadrant 4, avec $3 π /2 \leq θ < 2 π$ .

Rappel 2 : La réciproque d'une fonction par symétrie

Une fonction inversible $f : A \to B$ est une relation telle que $f \subseteq A \times B$ , et sa fonction réciproque $g : B \to A$ est une relation telle que $g \subseteq B \times A$ . En compréhension, il est possible de définir la réciproque de $f :$

 $g = {(y, x) \in B \times A ∣ (x, y) \in f} .$

(1)

Ce faisant, pour tous les couples $(x, y)$ appartenant à $f$ , le couple $(y, x)$ doit appartenir à $g$ , de telle sorte que la fonction $g$ correspond à la symétrie de $f$ par rapport à la droite $y = x$ .

1. La fonction arc sinus

Rappel 3 : La fonction sinus

La fonction $sin : R \to [- 1, 1]$ correspond à l'ordonnée d'un point trigonométrique $P = (x, y)$ d'angle $θ$ telle que:

 $sin (θ) = y .$

(2)

Graphe de la fonction sinus près de l'origine. — Figure 5

La fonction $sin (θ)$ .

La fonction sinus n'est pas injective sur tout son domaine, ce qui implique qu'elle n'est pas bijective. Il est cependant possible d'y dégager des intervalles de bijection. Par convention, on choisit un intervalle près de l'origine pour définir la réciproque d'une fonction trigonométrique. Pour la fonction sinus, on remarque que pour $- π /2 \leq θ \leq π /2$ , la fonction est strictement croissante et toutes les valeurs possibles du sinus d'un angle s'y retrouvent. Par conséquent, $sin (θ)$ restreinte à $[- π /2, π /2]$ est bijective. La symétrie de la fonction par rapport à la droite d'équation $y = x$ décrira donc une fonction.

Cela dit, la fonction sinus est transcendantale. Sa réciproque, la fonction $arcsin (x)$ , parfois notée $sin^{- 1} (x)$ qui peut porter à confusion, sera donc aussi transcendantale. Il est donc impossible d'exprimer rationnellement le sinus d'un angle et de récupérer cet angle au moyen de la fonction arc sinus.

Définition 1 : La fonction arc sinus

La fonction $arcsin : [- 1, 1] \to [- π /2, π /2]$ est la réciproque de la fonction sinus $(2)$ restreinte à $[- π /2, π /2]$ telle que:

 $arcsin (x) = θ ⟺ x = sin (θ) .$

(3)

Graphe de la fonction arc sinus, la réciproque de la fonction sinus définie près de l'origine. — Figure 6

La fonction $arcsin (x)$ .

Par ailleurs, l'intervalle de bijection pour lequel $- π /2 \leq θ \leq π /2$ ne décrit que la moitié droite du cercle unitaire. Ce faisant, la fonction $arcsin (x)$ ne renvoie qu'une réponse périodique à la fonction sinus, alors qu'il y en a deux. Il est alors possible d'utiliser les transformations des fonctions pour dégager une fonction qui complète la réciproque de $sin (θ)$ . La fonction $sin (θ)$ étant impaire, sa symétrie horizontale correspond à sa symétrie verticale, d'où l'équation $sin (- θ) = - sin (θ)$ . Par conséquent, la fonction $arcsin (x)$ est aussi impaire. À partir de la définition de la fonction sinus dans le cercle unitaire, on remarque que pour $- π /2 \leq α \leq π /2$ et $π /2 \leq β \leq 3 π /2$ , $sin (α) = - sin (β)$ . Alors, la deuxième partie de la fonction arc sinus s'exprime par translation et symétrie verticale de sa définition conventionnelle, telle qu'illustrée par la figure suivante.

Graphique des deux solutions périodiques de la fonction arc sinus par transformation des fonctions. — Figure 7

Le graphique des deux solutions périodiques de la fonction arc sinus.

Théorème 1 : L'ensemble solution de la fonction sinus de base

Soit $y = sin (θ)$ , tel que la période de la fonction sinus est $2 π$ . On définit alors $θ_{1} = arcsin (y)$ et $θ_{2} = π - arcsin (y)$ comme étant les deux solutions périodiques de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $2 nπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{1}$ ou à $θ_{2}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {2 nπ + arcsin (y) ∣ n \in Z} \cup {(2 n + 1) π - arcsin (y) ∣ n \in Z} .$

(4)

Théorème 2 : L'ensemble solution de la fonction sinus transformée

Soit $\frac{y - k}{a} = sin (\frac{θ - h}{b})$ , tel que la période de la fonction sinus est $2∣ b ∣ π$ . On définit alors $θ_{1} = b arcsin (\frac{y - k}{a}) + h$ et $θ_{2} = bπ - b arcsin (\frac{y - k}{a}) + h$ comme étant les deux solutions périodiques de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $2 bnπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{1}$ ou à $θ_{2}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {2 nbπ + b arcsin (\frac{y - k}{a}) + h ∣ n \in Z} \cup {(2 n + 1) bπ - b arcsin (\frac{y - k}{a}) + h ∣ n \in Z} .$

(5)

Exemple 1 : Résoudre une équation d'une fonction sinus de base

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $sin (θ) = \frac{2}{2}$ ?

Solution

À partir du cercle trigonométrique, on constate que $θ_{1} = arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}$ . Par conséquent, à partir de l'expression de l'ensemble solution pour la fonction sinus de base $(4)$ , la deuxième solution de l'équation est $θ_{2} = π - θ_{1} = \frac{3 π}{4}$ . La période de $sin (θ)$ dans l'équation est $2∣ b ∣ π = 2 π$ , alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{1} + 2 nπ$ ou $θ_{2} + 2 nπ$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, - \frac{7 π}{4}, - \frac{5 π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{9 π}{4}, \frac{11 π}{4}, \dots} .$

Exemple 2 : Résoudre par substitution une équation d'une fonction sinus transformée

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $sin (2 π (θ - \frac{1}{8})) = - \frac{3}{2}$ ?

Solution

Soit $α = 2 π (θ - \frac{1}{8})$ , tel que $sin (α) = - \frac{3}{2}$ . À partir du cercle trigonométrique, $α_{1} = arcsin (- \frac{3}{2}) = - \frac{π}{3}$ . Par conséquent, à partir de l'expression de l'ensemble solution pour la fonction sinus de base $(4)$ , la deuxième solution de l'équation est $α_{2} = π - α_{1} = \frac{4 π}{3}$ . Partant de la substitution que nous avons faite:

 $α = 2 π (θ - \frac{1}{8}) ⟺ θ = \frac{α}{2 π} + \frac{1}{8} .$

Par conséquent, $θ_{1} = \frac{α _{1}}{2 π} + \frac{1}{8} = - \frac{1}{24}$ , et $θ_{2} = \frac{α _{2}}{2 π} + \frac{1}{8} = \frac{19}{24}$ . La période de la fonction sinus dans l'équation est $2∣ b ∣ π = \frac{2 π}{2 π} = 1$ , alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{1} + n$ ou $θ_{2} + n$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, - \frac{25}{24}, - \frac{5}{24}, - \frac{1}{24}, \frac{19}{24}, \frac{23}{24}, \frac{43}{24}, \dots} .$

2. La fonction arc cosinus

Rappel 4 : La fonction cosinus

La fonction $cos : R \to [- 1, 1]$ correspond à l'abscisse d'un point trigonométrique $P = (x, y)$ d'angle $θ$ telle que:

 $cos (θ) = x .$

(6)

Graphe de la fonction cosinus près de l'origine. — Figure 8

La fonction $y = cos (θ)$ .

La fonction cosinus est un déphasage de la fonction sinus. Par conséquent, elle n'est pas injective sur tout son domaine, ce qui implique qu'elle n'est pas bijective. Cependant, pour $0 \leq θ \leq π$ , la fonction $cos (θ)$ est strictement décroissante et toutes les valeurs possibles du cosinus d'un angle s'y retrouvent. Par conséquent, $cos (θ)$ restreinte à $[0, π]$ est bijective. La symétrie de la fonction par rapport à la droite d'équation $y = x$ décrira donc une fonction.

Cela dit, la fonction cosinus est transcendantale. Sa réciproque, la fonction $arccos (x)$ , parfois notée $cos^{- 1} (x)$ qui peut porter à confusion, sera donc aussi transcendantale. Il est donc impossible d'exprimer rationnellement le cosinus d'un angle et de récupérer cet angle au moyen de la fonction arc cosinus.

Définition 2 : La fonction arc cosinus

La fonction $arccos : [- 1, 1] \to [0, π]$ est la réciproque de la fonction cosinus $(6)$ restreinte à $[0, π]$ telle que:

 $arccos (x) = θ ⟺ x = cos (θ) .$

(7)

Graphe de la fonction arc cosinus, la réciproque de la fonction cosinus définie près de l'origine. — Figure 9

La fonction $arccos (x)$ .

Par ailleurs, l'intervalle de bijection pour lequel $0 \leq θ \leq π$ ne décrit que la moitié supérieure du cercle unitaire. Ce faisant, la fonction $arccos (x)$ ne renvoie qu'une réponse périodique à la fonction cosinus, alors qu'il y en a deux. Il est alors possible d'utiliser les transformations des fonctions pour dégager une fonction qui complète la réciproque de $cos (θ)$ . En effet, une symétrie verticale de la définition conventionnelle de la fonction arc cosinus suffit pour dégager la deuxième solution périodique de la fonction $cos (θ)$ , telle qu'illustrée par la figure suivante.

Graphique des deux solutions périodiques de la fonction arc cosinus par transformation des fonctions. — Figure 10

Le graphique des deux solutions périodiques de la fonction arc cosinus.

Théorème 3 : L'ensemble solution de la fonction cosinus de base

Soit $y = cos (θ)$ , tel que la période de la fonction cosinus est $2 π$ . On définit alors $θ_{1} = arccos (y)$ et $θ_{2} = - arccos (y)$ comme étant les deux solutions périodiques de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $2 nπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{1}$ ou à $θ_{2}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {2 nπ \pm arccos (y) ∣ n \in Z} .$

(8)

Théorème 4 : L'ensemble solution de la fonction cosinus transformée

Soit $\frac{y - k}{a} = cos (\frac{θ - h}{b})$ , tel que la période de la fonction cosinus est $2∣ b ∣ π$ . On définit alors $θ_{1} = b arccos (\frac{y - k}{a}) + h$ et $θ_{2} = - b arccos (\frac{y - k}{a}) + h$ comme étant les deux solutions périodiques de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $2∣ b ∣ nπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{1}$ ou à $θ_{2}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {2 bnπ \pm b arccos (\frac{y - k}{a}) + h ∣ n \in Z} .$

(9)

Exemple 3 : Résoudre une équation d'une fonction cosinus de base

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $cos (θ) = \frac{3}{2}$ ?

Solution

À partir du cercle trigonométrique, on constate que $θ_{1} = arccos (\frac{3}{2}) = \frac{π}{6}$ . Par conséquent, à partir de l'expression de l'ensemble solution pour la fonction cosinus de base $(8)$ , la deuxième solution de l'équation est $θ_{2} = - θ_{1} = - \frac{π}{6}$ . La période de $cos (θ)$ dans l'équation est $2∣ b ∣ π = 2 π$ , alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{1} + 2 nπ$ ou $θ_{2} + 2 nπ$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, - \frac{13 π}{6}, - \frac{11 π}{6}, - \frac{π}{6}, \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}, \frac{13 π}{6}, \dots} .$

Exemple 4 : Résoudre par substitution une équation d'une fonction cosinus transformée

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $4 cos (2 θ - 2 π) = 0$ ?

Solution

D'abord, le paramètre de mise à l'échelle verticale de la fonction cosinus peut être omis. Soit $α = 2 θ - 2 π$ , tel que $cos (α) = 0$ . À partir du cercle trigonométrique, $α_{1} = arccos (0) = π /2$ . Par conséquent, à partir de l'expression de l'ensemble solution pour la fonction cosinus de base $(8)$ , la deuxième solution de l'équation est $α_{2} = - α_{1} = - π /2$ . Partant de la substitution que nous avons faite:

 $α = 2 θ - 2 π ⟺ θ = \frac{α}{2} + π .$

Par conséquent, $θ_{1} = \frac{α _{1}}{2} + π = 5 π /4$ , et $θ_{2} = \frac{α _{2}}{2} + π = 3 π /4$ . En réécrivant l'équation initiale dans sa forme paramétrique, on constate que $b = 1/2$ . La période de la fonction cosinus dans l'équation est $2∣ b ∣ π = \frac{2 π}{2} = π$ , alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{1} + nπ$ ou $θ_{2} + nπ$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, - \frac{π}{4}, \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{9 π}{4}, \dots} .$

3. La fonction arc cosécante

Rappel 5 : La définition de la fonction cosécante

La fonction cosécante est définie comme étant l'inverse multiplicatif de la fonction sinus. Alors:

 $csc (θ) = \frac{1}{sin ( θ )} .$

(10)

Graphe de la fonction cosécante près de l'origine. — Figure 11

La fonction $y = csc (θ)$ .

La fonction cosécante n'est pas injective sur tout son domaine, ce qui implique qu'elle n'est pas bijective. Il est cependant possible d'y dégager des intervalles de bijection. La restriction de la fonction cosécante à l'intervalle pour lequel $- π /2 \leq θ \leq π /2$ et lorsque $θ \neq = 0$ est injective. D'ailleurs, puisqu'il y a une asymptote verticale sur son graphe lorsque $θ = 0$ , elle est surjective sur l'intervalle décrit plus tôt. Par conséquent, $csc (θ)$ restreinte à $[- π /2, π /2] ∖ {0}$ est bijective, et sa symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$ décrira une fonction.

Définition 3 : La fonction arc cosécante

La fonction $arccsc : R ∖ (- 1, 1) \to [- π /2, π /2] ∖ {0}$ est la réciproque de la fonction cosécante $(10)$ restreinte à $[- π /2, π /2]$ telle que:

 $arccsc (x) = θ ⟺ x = csc (θ) .$

(11)

Partant de la définition de la fonction cosécante comme l'inverse multiplicatif de la fonction sinus, la fonction arc cosécante peut aussi s'exprimer avec la fonction arc sinus $(3)$ puisqu'elles ont le même codomaine à l'exception de l'indétermination par l'asymptote horizontale:

 $x = csc (θ) ⟺ \frac{1}{x} = sin (θ) ⟺ arcsin (\frac{1}{x}) = θ .$

Graphe de la fonction arc cosécante, la réciproque de la fonction cosécante définie près de l'origine. — Figure 12

La fonction $arccsc (x)$ .

Similairement à la fonction sinus, l'intervalle de bijection de la fonction arc cosécante pour lequel $- π /2 \leq θ \leq π /2$ ne décrit que la moitié droite du cercle unitaire. Ce faisant, la fonction $arccsc (x)$ ne renvoie qu'une réponse périodique à la fonction cosécante, bien qu'il y en ait deux. Toujours à l'aide des transformations des fonctions, il est possible d'appliquer les mêmes transformations faites à la fonction sinus précédemment pour obtenir la deuxième partie de la fonction arc cosécante, soit par une translation verticale de $π$ et une symétrie verticale.

Graphique des deux solutions périodiques de la fonction arc cosécante par transformation des fonctions. — Figure 13

Le graphique des deux solutions périodiques de la fonction arc cosécante.

Théorème 5 : L'ensemble solution de la fonction cosécante de base

Soit $y = csc (θ)$ , tel que la période de la fonction cosécante est $2 π$ . On définit alors $θ_{1} = arccsc (θ)$ et $θ_{2} = π /2 - arccsc (θ)$ comme étant les deux solutions périodiques de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $2 nπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{1}$ ou à $θ_{2}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {2 nπ + arccsc (y) ∣ n \in Z} \cup {(2 n + 1) π - arccsc (y) ∣ n \in Z} .$

(12)

Théorème 6 : L'ensemble solution de la fonction cosécante transformée

Soit $\frac{y - k}{a} = csc (\frac{x - h}{b})$ , tel que la période de la fonction sinus est $2∣ b ∣ π$ . On définit $θ_{1} = b arccsc (\frac{y - k}{a}) + h$ et $θ_{2} = bπ - b arccsc (\frac{y - k}{a}) + h$ comme étant les deux solutions périodiques de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $2 bnπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{1}$ ou $θ_{2}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {2 nbπ + b arccsc (\frac{y - k}{a}) + h ∣ n \in Z} \cup {(2 n + 1) bπ - b arccsc (\frac{y - k}{a}) + h ∣ n \in Z} .$

(13)

Exemple 5 : Résoudre une équation d'une fonction cosécante de base

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $csc (θ) = - 2$ ?

Solution

Partant de la définition de la fonction cosécante $(10)$ comme l'inverse multiplicatif de la fonction sinus:

 $csc (θ) = - 2 ⟺ sin (θ) = - \frac{1}{2} = - \frac{2}{2} .$

Ce faisant, à partir du cercle trigonométrique, $θ_{1} = arccsc (- 2) = - \frac{π}{4}$ . La deuxième solution de l'équation est donc $θ_{2} = π - θ_{1} = \frac{5 π}{4}$ selon l'expression de l'ensemble solution pour la fonction cosécante de base $(12)$ . La période de $csc (θ)$ dans l'équation est $2∣ b ∣ π = 2 π$ , alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{1} + 2 nπ$ ou $θ_{2} + 2 nπ$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, - \frac{9 π}{4}, - \frac{3 π}{4}, - \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}, \frac{13 π}{4}, \dots} .$

Exemple 6 : Résoudre par substitution une équation d'une fonction cosécante transformée

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $\frac{1}{2} csc (\frac{π}{2} (θ - 4)) = 1$ ?

Solution

Soit $α = \frac{π}{2} (θ - 4)$ , tel que $\frac{1}{2} csc (α) = 1$ , donc $csc (α) = 2$ . À partir de la définition de la fonction cosécante $(10)$ comme l'inverse multiplicatif de la fonction sinus:

 $csc (α) = 2 ⟺ sin (α) = \frac{1}{2} .$

Ce faisant, à partir du cercle trigonométrique, $α_{1} = arccsc (2) = \frac{π}{6}$ . Par conséquent, à partir de l'expression de l'ensemble solution de la fonction cosécante de base $(12)$ , la deuxième solution de l'équation est $α_{2} = π - α_{1} = \frac{5 π}{6}$ . Partant de la substitution effectuée précédemment:

 $α = \frac{π}{2} (θ - 4) ⟺ θ = \frac{2 α}{π} + 4.$

Ce faisant, $θ_{1} = \frac{2 α _{1}}{π} + 4 = \frac{13}{3}$ , et $θ_{2} = \frac{2 α _{2}}{π} + 4 = \frac{17}{3}$ . Dans l'équation initiale, on constate que $b = \frac{π}{2}$ . Par conséquent, la période de la fonction cosécante est $2∣ b ∣ π = \frac{2 \cdot 2 π}{π} = 4$ , alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{1} + 4 n$ ou $θ_{2} + 4 n$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, \frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{13}{3}, \frac{17}{3}, \frac{25}{3}, \frac{29}{3}, \dots} .$

4. La fonction arc sécante

Rappel 6 : La définition de la fonction sécante

La fonction sécante est définie comme étant l'inverse multiplicatif de la fonction cosinus. Alors:

 $sec (θ) = \frac{1}{cos ( θ )} .$

(14)

Graphe de la fonction sécante près de l'origine. — Figure 14

La fonction $y = sec (θ)$ .

La fonction sécante est un déphasage de la fonction cosécante. Par conséquent, elle n'est pas injective sur tout son domaine, ce qui implique qu'elle n'est pas bijective. Cependant, pour $0 \leq θ \leq π$ , la fonction $sec (θ)$ est strictement croissante et toutes les valeurs possibles de la sécante d'un angle s'y retrouvent. Par conséquent, $sec (θ)$ est bijective sur cet intervalle. La symétrie de la fonction par rapport à la droite d'équation $y = x$ décrira donc une fonction.

Définition 4 : La fonction arc sécante

La fonction $arcsec : R ∖ (- 1, 1) \to [0, π] ∖ {π /2}$ est la réciproque de la fonction sécante $(14)$ restreinte à $[0, π] ∖ {π /2}$ telle que:

 $arcsec (x) = θ ⟺ x = sec (θ) .$

(15)

Partant de la définition de la fonction sécante comme l'inverse multiplicatif de la fonction cosinus, la fonction arc sécante peut aussi s'exprimer avec la fonction arc cosinus $(7)$ puisqu'elles ont le même codomaine à l'exception de l'indétermination par l'asymptote horizontale:

 $x = sec (θ) ⟺ \frac{1}{x} = cos (θ) ⟺ arccos (\frac{1}{x}) = θ .$

Graphe de la fonction arc sécante, la réciproque de la fonction sécante définie près de l'origine. — Figure 15

La fonction $arcsec (x)$ .

Similairement à la fonction cosinus, l'intervalle de bijection de la fonction arc sécante pour lequel $0 \leq θ \leq π$ ne décrit que la moitié supérieure du cercle unitaire. Ce faisant, la fonction $arcsec (x)$ ne renvoie qu'une réponse périodique à la fonction sécante, bien qu'il y en ait deux. Toujours à l'aide des transformée des fonctions, il est possible d'appliquer les mêmes transformations faites à la fonction cosinus précédemment pour obtenir la deuxième partie de la fonction arc sécante, soit par une symétrie verticale.

Graphique des deux solutions périodiques de la fonction arc sécante par transformation des fonctions. — Figure 16

Le graphique des deux solutions périodiques de la fonction arc sécante.

Théorème 7 : L'ensemble solution de la fonction sécante de base

Soit $y = sec (θ)$ , tel que la période de la fonction sécante est $2 π$ . On définit alors $θ_{1} = arcsec (y)$ et $θ_{2} = - arcsec (y)$ comme étant les deux solutions périodiques de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $2 nπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{1}$ ou à $θ_{2}$ pour dégager une autre solution de $θ$ .

L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {2 nπ \pm arcsec (y) ∣ n \in Z} .$

(16)

Théorème 8 : L'ensemble solution de la fonction sécante transformée

Soit $\frac{y - k}{a} = sec (\frac{θ - h}{b})$ , tel que la période de la fonction sécante est $2∣ b ∣ π$ . On définit alors $θ_{1} = b arcsec (\frac{y - k}{a}) + h$ et $θ_{2} = - b arcsec (\frac{y - k}{a}) + h$ comme étant les deux solutions périodiques de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $2 bnπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{1}$ ou à $θ_{2}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {2 bnπ \pm b arcsec (\frac{y - k}{a}) + h ∣ n \in Z} .$

(17)

Exemple 7 : Résoudre une équation d'une fonction sécante de base

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $sec (θ) = - \frac{2 3}{3}$ ?

Solution

Partant de la définition de la fonction sécante $(14)$ comme l'inverse multiplicatif de la fonction cosinus:

 $sec (θ) = - \frac{2 3}{3} ⟺ cos (θ) = - \frac{3}{2 3} = - \frac{3}{2} .$

Ce faisant, à partir du cercle trigonométrique, $θ_{1} = arcsec (- \frac{2 3}{3}) = \frac{5 π}{6}$ . Alors, selon l'expression de l'ensemble solution pour la fonction sécante de base $(16)$ , $θ_{2} = - θ_{1} = - \frac{5 π}{6}$ . La période de $sec (θ)$ dans l'équation est $2∣ b ∣ π = 2 π$ , alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{1} + 2 nπ$ ou $θ_{2} + 2 nπ$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, - \frac{17 π}{6}, - \frac{7 π}{6}, - \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{17 π}{6}, \dots} .$

Exemple 8 : Résoudre par substitution une équation d'une fonction sécante transformée

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $\frac{1}{2} sec (\frac{π}{3} θ) + 1 = 0$ ?

Solution

Soit $α = \frac{π}{3} θ$ tel que $\frac{1}{2} sec (α) + 1 = 0$ , donc $sec (α) = - 2$ . À partir de la définition de la fonction sécante $(14)$ comme l'inverse multiplicatif de la fonction cosinus:

 $sec (α) = - 2 ⟺ cos (α) = - \frac{1}{2} .$

Ce faisant, à partir du cercle trigonométrique, $α_{1} = arcsec (- 2) = \frac{2 π}{3}$ . Par conséquent, à partir de l'expression de l'ensemble solution de la fonction sécante $(17)$ , la deuxième solution de l'équation est $α_{2} = - α_{1} = - \frac{2 π}{3}$ . Partant de la substitution précédente:

 $α = \frac{π}{3} θ ⟺ θ = \frac{3}{π} α .$

Ce faisant, $θ_{1} = \frac{3}{π} α_{1} = 2$ , et $θ_{2} = \frac{3}{π} α_{2} = - 2$ . Dans l'équation initiale, on constate que $b = \frac{3}{π}$ . Par conséquent, la période de la fonction sécante est $2∣ b ∣ π = \frac{2 \cdot 3 π}{π} = 6$ , alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{1} + 6 n$ ou $θ_{2} + 6 n$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, - 8, - 4, - 2, 2, 4, 8, \dots} .$

5. La fonction arc tangente

Rappel 7 : La définition de la fonction tangente

La fonction tangente est définie comme étant le quotient des fonctions sinus et cosinus. Alors:

 $tan (θ) = \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} .$

(18)

Graphe de la fonction tangente près de l'origine. — Figure 17

La fonction $y = tan (θ)$ .

La fonction tangente étant périodique, elle n'est pas injective sur tout son domaine. En revanche, chacune de ces périodes est encadrée par une paire d'asymptotes verticales. On peut constater à partir du graphe de la figure précédente que $tan (θ)$ tend vers $- \infty$ lorsque $θ$ tend vers $- π /2$ par la droite, et qu'elle tend vers $\infty$ lorsque $θ$ tend vers $π /2$ par la gauche. Par conséquent, la fonction tangente est injective et surjective sur l'intervalle $- π /2 < θ < π /2$ , et donc bijective, alors la courbe de sa réciproque sur cet intervalle décrira une fonction.

Définition 5 : La fonction arc tangente

La fonction $arctan : R \to (- π /2, π /2)$ est la réciproque de la fonction tangente $(18)$ restreinte à $(- π /2, π /2)$ telle que:

 $arctan (x) = θ ⟺ x = tan (θ) .$

(19)

Graphe de la fonction arc tangente, la réciproque de la fonction tangente définie près de l'origine. — Figure 18

La fonction $arctan (x)$ .

L'intervalle de bijection $- π /2 < θ < π /2$ ne décrit que la moitié droite du cercle unitaire. Cependant, par période de la fonction tangente, il n'y a qu'une seule solution périodique.

Théorème 9 : L'ensemble solution de la fonction tangente de base

Soit $y = tan (θ)$ , tel que la période de la fonction tangente est $π$ . On définit $θ_{0} = arctan (y)$ comme étant la solution périodique de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $nπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{0}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {nπ + arctan (y) ∣ n \in Z} .$

(20)

Théorème 10 : L'ensemble solution de la fonction tangente transformée

Soit $\frac{y - k}{a} = tan (\frac{θ - h}{b})$ , tel que la période de la fonction tangente est $∣ b ∣ π$ . On définit $θ_{0} = b arctan (\frac{y - k}{a}) + h$ comme étant la solution périodique de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $bnπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{0}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {bnπ + b arctan (\frac{y - k}{a}) + h ∣ n \in Z} .$

(21)

Exemple 9 : Résoudre une équation d'une fonction tangente de base

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $tan (θ) = 3$ ?

Solution

Sachant que la fonction arc tangente est définie pour la moitié droite du cercle unitaire, une solution de $θ$ dans l'équation doit être dans le quadrant 1 puisque $3$ est positive. Sachant cela, à partir du cercle trigonométrique et de la définition de la fonction tangente comme le ratio ordonnée/abscisse d'un point trigonométrique $(18)$ :

 $θ_{0} = arctan (3) = arctan \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{π}{3} .$

La période de la fonction tangente dans l'équation est $∣ b ∣ π = π$ , alors pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{0} + nπ$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, - \frac{2 π}{3}, \frac{π}{3}, \frac{4 π}{3} \dots} .$

Exemple 10 : Résoudre par substitution une équation d'une fonction tangente transformée

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $3 tan (π θ - π /3) + 1 = 0$ ?

Solution

Soit $α = π θ - π /3$ , tel que $3 tan (α) + 1 = 0$ , donc $tan (α) = - \frac{1}{3}$ . Sachant que la fonction arc tangente est définie pour la moitié droite du cercle unitaire, une solution de $α$ dans l'équation doit être dans le quadrant 4 puisque $- \frac{1}{3}$ est négatif. Sachant cela, à partir du cercle trigonométrique et de la définition de la fonction tangente $(18)$ comme le ratio ordonnée/abscisse d'un point trigonométrique:

 $α_{0} = arctan (- \frac{1}{3}) = arctan \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = - \frac{π}{6} .$

Ce faisant, à partir de la substitution effectuée précédemment:

 $α = π θ - π /3 ⟺ θ = \frac{α}{π} + \frac{1}{3} .$

Alors, $θ_{0} = \frac{α _{0}}{π} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ . Dans l'équation initiale, on constate que $b = \frac{1}{π}$ . Par conséquent, la période de la fonction tangente est $∣ b ∣ π = \frac{π}{π} = 1$ , alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{0} + n$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, - \frac{5}{6}, \frac{1}{6}, \frac{7}{6}, \dots} .$

6. La fonction arc cotangente

Rappel 8 : La définition de la fonction cotangente

La fonction cotangente est définie comme étant l'inverse multiplicatif de la fonction tangente. Alors:

 $cot (θ) = \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} .$

(22)

Graphe de la fonction cotangente près de l'origine. — Figure 19

La fonction $y = cot (θ)$ .

Tout comme pour la fonction tangente, les intervalles d'injection de la fonction cotangente sont encadrées par des paires d'asymptotes verticales. Un raisonnement similaire à celui décrit précédemment permet de dégager l'intervalle de bijection de la fonction $cot (θ)$ lorsque $0 < θ < π$ .

Définition 6 : La fonction arc cotangente

La fonction $arccot : R \to (0, π)$ est la réciproque de la fonction cotangente $(22)$ restreinte à $(0, π)$ telle que:

 $arccot (x) = θ ⟺ x = cot (θ) .$

(23)

La fonction cotangente étant un déphasage d'une demie période de la fonction tangente ayant subit une symétrie horizontale, la fonction arc cotangente peut aussi s'exprimer avec la fonction arc tangente:

 $arccot (x) = \frac{π}{2} - arctan (x) .$

Graphe de la fonction arc cotangente, la réciproque de la fonction cotangente définie près de l'origine. — Figure 20

La fonction $arccot (x)$ .

La fonction cotangente étant l'inverse multiplicatif de la fonction tangente, elle ne comporte qu'une solution périodique par période.

Théorème 11 : L'ensemble solution de la fonction cotangente de base

Soit $y = cot (θ)$ , tel que la période de la fonction cotangente est $π$ . On définit $θ_{0} = arccot (y)$ comme étant la solution périodique de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $nπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{0}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {nπ + arccot (y) ∣ n \in Z} .$

(24)

Théorème 12 : L'ensemble solution de la fonction cotangente transformée

Soit $\frac{y - k}{a} = cot (\frac{θ - h}{b})$ , tel que la période de la fonction cotangente est $∣ b ∣ π$ . On définit $θ_{0} = b arccot (\frac{y - k}{a}) + h$ comme étant la solution périodique de $θ$ dans l'équation. Il suffit alors d'ajouter $bnπ$ pour toutes les valeurs entières de $n$ à $θ_{0}$ pour dégager une autre solution de $θ$ . L'ensemble $S$ des solutions de $θ$ qui vérifient l'équation, tel que $θ \in S$ , est:

 $S = {bnπ + b arccot (\frac{y - k}{a}) + h ∣ n \in Z} .$

(25)

Exemple 11 : Résoudre une équation d'une fonction cotangente de base

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $cot (θ) = 0$ ?

Solution

À partir du cercle trigonométrique et de la définition de la fonction cotangente $(22)$ comme le ratio abscisse/ordonnée d'un point trigonométrique:

 $θ_{0} = arccot (0) = arccot (\frac{0}{1}) = \frac{π}{2} .$

La période de la fonction cotangente dans l'équation est $∣ b ∣ π = π$ , alors pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{0} + nπ$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, - \frac{π}{2}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, \dots} .$

Exemple 12 : Résoudre par substitution une équation d'une fonction cotangente transformée

Pour quelles valeurs de $θ$ est-ce que $cot (θ - π /4) = - 1$ ?

Solution

Soit $α = θ - π /4$ , tel que $cot (α) = - 1$ . Sachant que la fonction arc cotangente est définie pour la moitié supérieure du cercle unitaire, une solution de $α$ dans l'équation doit être dans le quadrant 2 puisque $- 1$ est négatif. Sachant cela, à partir du cercle trigonométrique et de la définition de la fonction cotangente $(22)$ comme le ratio abscisse/ordonnée d'un point trigonométrique:

 $α_{0} = arccot (- 1) = arccot \frac{- \frac{2}{2}}{\frac{2}{2}} = \frac{3 π}{4} .$

Ce faisant, à partir de la substitution effectuée précédemment:

 $α = θ - π /4 ⟺ θ = α + π /4.$

Alors, $θ_{0} = α_{0} + π /4 = π$ . Dans l'équation initiale, on constate que $b = 1$ . Par conséquent, la période de la fonction cotangente est $∣ b ∣ π = π$ , alors, pour toutes les valeurs de $n$ appartenant à l'ensemble des entiers relatifs $Z$ , la valeur de $θ$ peut être $θ_{0} + nπ$ . Par conséquent:

 $θ \in {\dots, 0, π, 2 π, \dots} .$