Preuve des formules de dérivation

Rappel 1 : Les fonctions dérivées par la limite

Soit $f$ une fonction quelconque explicite en $x$ . De la définition de la fonction dérivée par la limite, la dérivée de $f$ selon $x$ s'exprime:

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} .$

(1)

1. Les formules de dérivation de base

Les formules de dérivation de base permettent de dériver toutes les fonctions rationnelles.

\frac{d}{d x} [c] = 0

\frac{d}{d x} [c u] = c \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [u \pm v] = \frac{d u}{d x} \pm \frac{d v}{d x}

\frac{d}{d x} [uv] = \frac{d u}{d x} v + u \frac{d v}{d x}

\frac{d}{d x} [\frac{u}{v}] = \frac{\frac{d u}{d x} v - u \frac{d v}{d x}}{v ^{2}}

\frac{d}{d x} [u \circ v] = \frac{d}{d x} [u (v)] = \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x}

\frac{d}{d x} [u^{n}] = n u^{n - 1} \frac{d u}{d x}

1.1. La dérivée d'une fonction constante

Rappel 2 : La dérivée en un point d'une fonction

Soit $f$ une fonction quelconque explicite en $x$ continue au voisinage de $x = a$ . La dérivée de $f$ évaluée en $a$ s'exprime:

 $\frac{d f}{d x}_{x = a} = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a} .$

(2)

En vertu de la formule de la dérivée d'une fonction en un point $(2)$ , pour une fonction $f (x) = c$ dérivable telle que $c$ est un réel, alors $\frac{d f}{d x} = 0$ puisque $f (x) - f (a) = 0$ pour toutes valeurs de $a$ . Par conséquent:

 $\frac{d}{d x} [c] = 0.$

(3)

1.2. La dérivée d'une fonction multipliée par une constante

Soit la fonction $f = c u$ telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ , et $c$ est un réel. En vertu de la fonction dérivée par la limite $(1)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{c \cdot u ( x + h ) - c \cdot u ( x )}{h} = h \to 0 lim c \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} .$

Puisque $c$ ne dépend pas de $h$ , nous pouvons la sortir de la limite. On dégage alors l'expression $\frac{d f}{d x} = c \cdot lim_{h \to 0} \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}$ , d'où:

 $\frac{d}{d x} [c u] = c \frac{d u}{d x} .$

(4)

1.3. La dérivée de l'addition et de la soustraction de fonctions

Soit la fonction $f = u \pm v$ telle que $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables de $x$ . En vertu de la fonction dérivée par la limite $(1)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) \pm v ( x + h ) - [ u ( x ) \pm v ( x )]}{h} = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) \pm v ( x + h ) - u ( x ) \mp v ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) - u ( x ) \pm v ( x + h ) \mp v ( x )}{h} = h \to 0 lim [\frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} + \frac{\pm v ( x + h ) \mp v ( x )}{h}] = h \to 0 lim [\frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} \pm \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h}] = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} \pm h \to 0 lim \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} .$

Par conséquent:

 $\frac{d}{d x} [u \pm v] = \frac{d u}{d x} \pm \frac{d v}{d x} .$

(5)

1.4. La dérivée du produit de deux fonctions

Soit la fonction $f = uv$ telle que $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables de $x$ . En vertu de la fonction dérivée par la limite $(1)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x ) v ( x )}{h} .$

En introduisant un terme dans la limite précédente, il sera possible d'en dégager l'expression de deux dérivées. Partant du terme $u (x + h) v (x + h)$ , si nous voulions dégager l'expression $u (x + h) [v (x + h) - v (x)]$ , il faudrait ajouter le terme $- u (x + h) v (x)$ à la limite. De façon similaire, à partir du terme $- u (x) v (x)$ , si nous voulions dégager l'expression $v (x) [u (x + h) - u (x)]$ , il faudrait ajouter le terme $u (x + h) v (x)$ . Ce faisant:

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x + h ) - u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x ) + u ( x + h ) v ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) [ v ( x + h ) - v ( x )] + v ( x ) [ u ( x + h ) - u ( x )]}{h} = h \to 0 lim [u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h}] = h \to 0 lim u (x + h) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + h \to 0 lim v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} = h \to 0 lim u (x + h) \cdot h \to 0 lim \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + h \to 0 lim v (x) \cdot h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} = u (x) \cdot h \to 0 lim \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} + v (x) \cdot h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} .$

Par conséquent, en évaluant la limite au moyen de la fonction dérivée par la limite $(1)$ et en réarrangeant les termes de l'expression précédente:

 $\frac{d}{d x} [uv] = \frac{d u}{d x} v + u \frac{d v}{d x} .$

(6)

Autrement, au moyen de la dérivation logarithmique et de la dérivation implicite:

 $f ln ∣ f ∣ \frac{d}{d x} [ln ∣ f ∣] \frac{1}{f} \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} \frac{d}{d x} [uv] = uv = ln ∣ uv ∣ = ln ∣ u ∣ + ln ∣ v ∣ = \frac{d}{d x} [ln ∣ u ∣ + ln ∣ v ∣] = \frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x} + \frac{1}{v} \cdot \frac{d v}{d x} = \frac{f}{u} \cdot \frac{d u}{d x} + \frac{f}{v} \cdot \frac{d v}{d x} = \frac{uv}{u} \cdot \frac{d u}{d x} + \frac{uv}{v} \cdot \frac{d v}{d x} = \frac{d u}{d x} v + u \frac{d v}{d x} .$

Cela nous ramène au même résultat.

1.5. La dérivée du quotient de deux fonctions

Soit la fonction $f = \frac{u}{v}$ telle que $u$ et $v$ sont des fonctions dérivables de $x$ . En vertu de la fonction dérivée par la limite $(1)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{\frac{u ( x + h )}{v ( x + h )} - \frac{u ( x )}{v ( x )}}{h} = h \to 0 lim \frac{\frac{u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x + h )}{v ( x + h ) v ( x )}}{h} = h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x + h )}{h v ( x + h ) v ( x )} = h \to 0 lim \frac{1}{v ( x + h ) v ( x )} \cdot \frac{u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x + h )}{h} .$

En introduisant un terme dans la limite précédente, il sera possible d'en dégager l'expression de deux dérivées. Partant du terme $u (x + h) v (x)$ , si nous voulions dégager l'expression $v (x) [u (x + h) - u (x)]$ , il faudrait ajouter le terme $- u (x) v (x)$ à la limite. De façon similaire, à partir du terme $- u (x) v (x + h)$ , si nous voulions dégager l'expression $- u (x) [v (x + h) - v (x)]$ , il faudrait ajouter le terme $u (x) v (x)$ . Ce faisant:

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{1}{v ( x + h ) v ( x )} \cdot \frac{u ( x + h ) v ( x ) - u ( x ) v ( x ) - u ( x ) v ( x + h ) + u ( x ) v ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{1}{v ( x + h ) v ( x )} \cdot \frac{v ( x ) [ u ( x + h ) - u ( x )] - u ( x ) [ v ( x + h ) - v ( x )]}{h} = h \to 0 lim \frac{1}{v ( x + h ) v ( x )} [v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} - u (x) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h}] = h \to 0 lim \frac{1}{v ( x + h ) v ( x )} \cdot h \to 0 lim [v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} - u (x) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h}] = \frac{1}{v ^{2} ( x )} [h \to 0 lim v (x) \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} - h \to 0 lim u (x) \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h}] = \frac{1}{v ^{2} ( x )} [v (x) h \to 0 lim \frac{u ( x + h ) - u ( x )}{h} - u (x) h \to 0 lim \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h}] .$

Par conséquent, en évaluant la limite au moyen de la fonction dérivée par la limite $(1)$ et en réarrangeant les termes de l'expression précédente:

 $\frac{d}{d x} [\frac{u}{v}] = \frac{\frac{d u}{d x} v - u \frac{d v}{d x}}{v ^{2}} .$

(7)

Autrement, au moyen de la dérivation logarithmique et de la dérivation implicite:

 $f ln ∣ f ∣ \frac{d}{d x} [ln ∣ f ∣] \frac{1}{f} \cdot \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} \frac{d}{d x} [\frac{u}{v}] = \frac{u}{v} = ln \frac{u}{v} = ln ∣ u ∣ - ln ∣ v ∣ = \frac{d}{d x} [ln ∣ u ∣ - ln ∣ v ∣] = \frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x} - \frac{1}{v} \cdot \frac{d v}{d x} = \frac{f}{u} \cdot \frac{d u}{d x} - \frac{f}{v} \cdot \frac{d v}{d x} = \frac{\frac{u}{v}}{u} \cdot \frac{d u}{d x} - \frac{\frac{u}{v}}{v} \cdot \frac{d v}{d x} = \frac{u}{uv} \cdot \frac{d u}{d x} - \frac{u}{vv} \cdot \frac{d v}{d x} = \frac{v}{v} \cdot \frac{1}{v} \frac{d u}{d x} - \frac{u}{v ^{2}} \cdot \frac{d v}{d x} = \frac{v}{v ^{2}} \cdot \frac{d u}{d x} - \frac{u}{v ^{2}} \cdot \frac{d v}{d x} = \frac{\frac{d u}{d x} v - u \frac{d v}{d x}}{v ^{2}} .$

Cela nous ramène au même résultat.

1.6. La dérivée de la composition de fonctions

Soit la fonction $f (x) = (u \circ v) (x) = u (v (x))$ , la composée des fonctions $u$ et $v$ dérivables de $x$ . En vertu de la fonction dérivée par la limite $(1)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{u ( v ( x + h )) - u ( v ( x ))}{h} = h \to 0 lim \frac{u ( v ( x + h )) - u ( v ( x ))}{( x + h ) - x} .$

La dernière expression de la limite soulève quelque chose de particulier entre le numérateur et le dénominateur de la dérivée par la limite. Si nous avions $v (x + h) - v (x)$ au dénominateur, nous pourrions affirmer que l'expression correspond à $\frac{d u}{d v}$ . Nous pouvons cependant multiplier la limite par $1$ , qu'on pourra manipuler à notre guise pour introduire $v (x + h) - v (x)$ . Cela dit, il faut que $v (x + h) - v (x) \neq = 0$ lorsque $h \to 0$ , autrement notre manipulation sera indéterminée et de la forme $\frac{0}{0}$ , laquelle comprend une infinité de solutions. Il en sera notamment le cas pour les fonctions oscillatoires. Par ailleurs, la propriété de composition de limites ne s'applique pas formellement à tous les cas dans les manipulations suivantes. Il est néanmoins possible de redéfinir le taux d'accroissement de $f (g (x))$ pour que ce qui suit soit vrai sans perte de généralité:

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{u ( v ( x + h )) - u ( v ( x ))}{h} \cdot \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{v ( x + h ) - v ( x )} = h \to 0 lim \frac{u ( v ( x + h )) - u ( v ( x ))}{v ( x + h ) - v ( x )} \cdot \frac{v ( x + h ) - v ( x )}{h} .$

Par conséquent, en évaluant la limite au moyen de la fonction dérivée par la limite $(1)$ , la dérivée de $f$ s'exprime:

 $\frac{d}{d x} [u \circ v] = \frac{d}{d x} [u (v)] = \frac{d u}{d v} \cdot \frac{d v}{d x} .$

(8)

1.7. La dérivée d'une fonction puissance

Rappel 3 : La notation factorielle

La factorielle d'un entier positif $n$ s'exprime:

 $n! = k = 1 \prod n k = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times (n - 2) \times (n - 1) \times n .$

(9)

avec $0! = 1$ .

Rappel 4 : Le dénombrement de combinaisons

Soit l'ensemble $S$ comprenant $n$ éléments. Le nombre de $r$ -combinaisons de $S$ sans remise où $r \in {0, 1, \dots, n}$ s'exprime:

 $C_{k}^{n} = C (n, k) = (k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} .$

(10)

Rappel 5 : La formule du binôme de Newton

Soient $x$ et $y$ des réels et $n$ un nombre positif. L'expression $(x + y)^{n}$ se développe par la sommation:

 $(x + y)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{n - k} y^{k} .$

(11)

Soit la fonction composée $(f \circ u) (x) = f (u (x))$ où $f (x) = x^{n}$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . En vertu de la fonction dérivée par la limite $(1)$ et du théorème d'expansion bionomiale $(11)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{n} - x ^{n}}{h} = h \to 0 lim \frac{k = 0 \sum n ( k n ) x ^{n - k} h ^{k} - x ^{n}}{h} = h \to 0 lim \frac{( 0 n ) x ^{n - 0} h ^{0} + ( 1 n ) x ^{n - 1} h ^{1} + \dots + ( n - 1 n ) x ^{n - (n - 1)} h ^{n - 1} + ( n n ) x ^{n - n} h ^{n} - x ^{n}}{h} = h \to 0 lim \frac{x ^{n} + ( 1 n ) x ^{n - 1} h + \dots + ( n - 1 n ) x h ^{n - 1} + ( n n ) h ^{n} - x ^{n}}{h} = h \to 0 lim \frac{( 1 n ) x ^{n - 1} h + ( 2 n ) x ^{n - 2} h ^{2} + \dots + ( n - 1 n ) x h ^{n - 1} + ( n n ) h ^{n}}{h} = h \to 0 lim \frac{h [ ( 1 n ) x ^{n - 1} + ( 2 n ) x ^{n - 2} h + \dots + ( n - 1 n ) x h ^{n - 2} + ( n n ) h ^{n - 1} ]}{h} = h \to 0 lim [n x^{n - 1} + (2 n) x^{n - 2} h + \dots + (n - 1 n) x h^{n - 2} + (n n) h^{n - 1}] = n x^{n - 1} .$

Cependant, cette preuve n'est valable que pour une puissance entière et positive bien que la formule soit correcte pour tous les entiers réels $n$ . Soit $m$ un entier positif et $n = - m$ , tel que:

 $f = x^{n} = x^{- m} = \frac{1}{x ^{m}} .$

En vertu de la formule de dérivation d'un quotient de fonctions $(7)$ :

 $\frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} [\frac{1}{x ^{m}}] = \frac{\frac{d}{d x} [ 1 ] x ^{m} - 1 \cdot \frac{d}{d x} [ x ^{m} ]}{( x ^{m} ) ^{2}} = \frac{- m x ^{m - 1}}{x ^{2 m}} = - m x^{m - 1 - 2 m} = - m x^{- m - 1} = n x^{n - 1} .$

Cependant, ces preuves ne sont valables que pour une puissance entière. Soient $p$ et $q$ des entiers et $n = \frac{p}{q}$ , tel que $n$ est rationnel. Il est possible d'exprimer:

 $f f^{q} = x^{\frac{p}{q}} = x^{p} .$

Alors, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ et de la dérivation implicite:

 $\frac{d}{d x} [f^{q}] q f^{q - 1} \cdot \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} [x^{p}] = p x^{p - 1} = \frac{p x ^{p - 1}}{q f ^{q - 1}} = \frac{p x ^{p - 1}}{q ( x ^{\frac{p}{q}} ) ^{q - 1}} = \frac{p}{q} \frac{x ^{p - 1}}{x ^{\frac{p}{q} (q - 1)}} = \frac{p}{q} x^{p - 1 - \frac{p}{q} (q - 1)} = \frac{p}{q} x^{p - 1 - p + \frac{p}{q}} = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1} = n x^{n - 1} .$

Enfin, ces preuves ne sont valables que pour une puissance rationnelle. Soit $n$ un nombre réel quelconque. Au moyen de la dérivation logarithmique et de la dérivation implicite:

 $f ln ∣ f ∣ \frac{d}{d x} [ln ∣ f ∣] \frac{1}{f} \cdot \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} = x^{n} = ln ∣ x^{n} ∣ = n ln ∣ x ∣ = \frac{d}{d x} [n ln ∣ x ∣] = n \cdot \frac{1}{x} = n \cdot \frac{f}{x} = n \cdot \frac{x ^{n}}{x} = n x^{n - 1} .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [u^{n}] = n u^{n - 1} \frac{d u}{d x}$

(12)

2. Les formules de dérivation des fonctions exponentielle et logarithmique

Les formules de dérivation des fonctions exponentielles et logarithmiques permettent de dériver implicitement des fonctions.

\frac{d}{d x} [e^{u}] = e^{u} \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [b^{u}] = b^{u} ln (b) \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [ln ∣ u ∣] = \frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [lo g_{b} ∣ u ∣] = \frac{1}{u ln ( b )} \cdot \frac{d u}{d x}

2.1. La dérivée d'une fonction exponentielle naturelle

Rappel 6 : La limite particulière de la fonction exponentielle

Il est possible de prouver la limite suivante au moyen du théorème de l'étau:

 $h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} = 1.$

(13)

Graphe d'une fonction de exponentielle au voisinage de l'origine, utilisée pour déterminer la formule de dérivation de la fonction exponentielle. — Figure 1

La fonction $f (x) = \frac{e ^{x} - 1}{x}$ au voisinage de $x = 0$ .

Soit la fonction composée $(f \circ u) (x) = f (u (x))$ où $f (x) = e^{x}$ , telle que $u$ est un fonction dérivable de $x$ . En vertu de la fonction dérivée par la limite $(1)$ et de la limite particulière de la fonction exponentielle $(13)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h} = h \to 0 lim \frac{e ^{x} e ^{h} - e ^{x}}{h} = h \to 0 lim \frac{e ^{x} ( e ^{h} - 1 )}{h} = h \to 0 lim e^{x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} = e^{x} .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [e^{u}] = e^{u} \frac{d u}{d x} .$

(14)

Autrement, au moyen de la dérivation logarithmique et de la dérivation implicite:

 $f ln ∣ f ∣ \frac{d}{d x} [ln ∣ f ∣] \frac{1}{f} \cdot \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} = e^{x} = ln ∣ e^{x} ∣ = x ln ∣ e ∣ = x = \frac{d}{d x} [x] = 1 = f = e^{x} .$

Alors, la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ nous permet d'exprimer $\frac{d}{d x} [f \circ u]$ comme au résultat précédent.

2.2. La dérivée d'une fonction exponentielle de différente base

Soit la fonction composée $(f \circ u) (x) = f (u (x))$ où $f (x) = b^{x}$ , telle que $u$ est un fonction dérivable de $x$ et $b$ est une constante positive et non-nulle différente de $1$ . La fonction $f$ peut se réécrire ainsi:

 $f = b^{x} = e^{l n ∣ b^{x} ∣} = e^{x l n ∣ b ∣} = e^{x l n (b)} .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation d'une fonction multipliée par une constante $(4)$ , de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ et de la formule de dérivation de la fonction exponentielle $(14)$ :

 $\frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} [e^{x l n (b)}] = e^{x l n (b)} \frac{d}{d x} [x ln (b)] = e^{x l n (b)} ln (b) = b^{x} ln (b) .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [b^{u}] = b^{u} ln (b) \frac{d u}{d x} .$

(15)

Autrement, au moyen de la dérivation logarithmique et de la dérivation implicite:

 $f ln ∣ f ∣ ln (f) \frac{d}{d x} [ln (f)] \frac{1}{f} \cdot \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} \frac{d}{d x} [b^{u}] = b^{u} = ln ∣ b^{u} ∣ = u ln ∣ b ∣ = u ln (b) = \frac{d}{d x} [u ln (b)] = ln (b) \frac{d u}{d x} = f ln (b) \frac{d u}{d x} = b^{u} ln (b) \frac{d u}{d x} .$

2.3. La dérivée d'une fonction logarithmique naturelle

Soit la fonction $f = ln ∣ u ∣$ telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . Au moyen des propriétés des exposants, il est possible d'écrire:

 $f e^{f} = ln ∣ u ∣ = u .$

On admet que $ln ∣ x ∣$ est dérivable puisqu'il s'agit de la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui est bijective. Alors, au moyen de la formule de dérivation de la fonction exponentielle naturelle $(14)$ et de la dérivation implicite:

 $\frac{d}{d x} [e^{f}] e^{f} \cdot \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} [u] = \frac{d u}{d x} = \frac{1}{e ^{f}} \cdot \frac{d u}{d x} = \frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x} .$

Par conséquent:

 $\frac{d}{d x} [ln ∣ u ∣] = \frac{1}{u} \cdot \frac{d u}{d x} .$

(16)

2.4. La dérivée d'une fonction logarithmique de différente base

Soit la fonction $f = lo g_{b} ∣ u ∣$ telle que $b > 0$ et $u$ est une fonction dérivable de $x$ . Au moyen des propriétés des exposants, il est possible d'écrire:

 $f b^{f} = lo g_{b} ∣ u ∣ = u .$

On admet que $lo g_{b} ∣ x ∣$ est dérivable puisqu'il s'agit de la fonction réciproque de la fonction exponentielle de base $b$ , qui est bijective. Alors, au moyen de la formule de dérivation de la fonction exponentielle $(15)$ et de la dérivation implicite:

 $\frac{d}{d x} [b^{f}] b^{f} ln ∣ b ∣ \cdot \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} [u] = \frac{d u}{d x} = \frac{1}{b ^{f} ln ( b )} \cdot \frac{d u}{d x} = \frac{1}{u ln ( b )} \cdot \frac{d u}{d x}$

Par conséquent:

 $\frac{d}{d x} [lo g_{b} ∣ u ∣] = \frac{1}{u ln ( b )} \cdot \frac{d u}{d x}$

(17)

3. Les formules de dérivation des fonctions trigonométriques

Les formules de dérivation des fonctions trigonométriques permettent de dériver les fonction trigonométriques, ce qui en retour permet l'analyse de mouvements en rotation.

\frac{d}{d x} [sin (u)] = cos (u) \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [cos (u)] = - sin (u) \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [sec (u)] = sec (u) tan (u) \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [csc (u)] = - csc (u) cot (u) \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [tan (u)] = sec^{2} (u) \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [cot (u)] = - csc^{2} (u) \frac{d u}{d x}

Rappel 7 : La fonction sinus

La fonction $sin : R \to [- 1, 1]$ correspond à l'ordonnée d'un point trigonométrique $P = (x, y)$ d'angle $θ$ telle que:

 $sin (θ) = y .$

(18)

Graphe de la fonction sinus près de l'origine. — Figure 2

La fonction $sin (θ)$ .

Rappel 8 : La fonction cosinus

La fonction $cos : R \to [- 1, 1]$ correspond à l'abscisse d'un point trigonométrique $P = (x, y)$ d'angle $θ$ telle que:

 $cos (θ) = x .$

(19)

Graphe de la fonction cosinus près de l'origine. — Figure 3

La fonction $y = cos (θ)$ .

Rappel 9 : La relation de Pythagore des fonctions sinus et cosinus

Un point trigonométrique $P$ a pour coordonnées $(cos (x), sin (x))$ . Sachant que le cercle trigonométrique est unitaire et en vertu de l'équation d'un cercle centré à l'origine:

 $sin^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1.$

(20)

Rappel 10 : La limite particulière de la fonction sinus

Il est possible de prouver la limite suivante au moyen du théorème de l'étau:

 $h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h} = 1 .$

(21)

Graphe d'une fonction de sinus au voisinage de l'origine, utilisée pour déterminer la formule de dérivation des fonctions sinus et cosinus. — Figure 4

La fonction $f (x) = \frac{sin ( x )}{x}$ au voisinage de $x = 0$ .

Rappel 11 : La limite particulière de la fonction cosinus

Il est possible de prouver la limite suivante au moyen du théorème de l'étau:

 $h \to 0 lim \frac{cos ( h ) - 1}{h} = 0 .$

(22)

Graphe d'une fonction de cosinus au voisinage de l'origine, utilisée pour déterminer la formule de dérivation des fonctions sinus et cosinus. — Figure 5

La fonction $f (x) = \frac{cos ( x ) - 1}{x}$ au voisinage de $x = 0$ .

3.1. La dérivée de la fonction sinus

Rappel 12 : La formule d'addition et de soustraction d'angles de la fonction sinus

Soient $α$ et $β$ deux angles quelconques. Alors:

 $sin (α \pm β) = sin (α) cos (β) \pm sin (β) cos (α) .$

(23)

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = sin (u (x))$ où $f (x) = sin (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . En vertu de la définition de la dérivée par la limite $(1)$ , de la formule d'addition d'angles de la fonction sinus $(23)$ et des limites particulières des fonctions sinus $(21)$ et cosinus $(22)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{sin ( x + h ) - sin ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{sin ( x ) cos ( h ) + sin ( h ) cos ( x ) - sin ( x )}{h} = h \to 0 lim [\frac{sin ( h ) cos ( x )}{h} + \frac{sin ( x ) cos ( h ) - sin ( x )}{h}] = h \to 0 lim [\frac{cos ( x ) sin ( h )}{h} + \frac{sin ( x ) ( cos ( h ) - 1 )}{h}] = h \to 0 lim cos (x) \frac{sin ( h )}{h} + h \to 0 lim sin (x) \frac{cos ( h ) - 1}{h} = cos (x) \cdot h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h} + sin (x) \cdot h \to 0 lim \frac{cos ( h ) - 1}{h} = cos (x) .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [sin (u)] = cos (u) \frac{d u}{d x} .$

(24)

3.2. La dérivée de la fonction cosinus

Rappel 13 : La formule d'addition et de soustraction d'angles de la fonction cosinus

Soient $α$ et $β$ deux angles quelconques. Alors:

 $cos (α \pm β) = cos (α) cos (β) \mp sin (α) sin (β) .$

(25)

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = cos (u (x))$ où $f (x) = cos (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . En vertu de la définition de la dérivée par la limite $(1)$ , de la formule d'addition d'angles de la fonction cosinus $(25)$ et des limites particulières des fonctions sinus $(21)$ et cosinus $(22)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{cos ( x + h ) - cos ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{cos ( x ) cos ( h ) - sin ( x ) sin ( h ) - cos ( x )}{h} = h \to 0 lim [- \frac{sin ( x ) sin ( h )}{h} + \frac{cos ( x ) cos ( h ) - cos ( x )}{h}] = h \to 0 lim [- \frac{sin ( x ) sin ( h )}{h} + \frac{cos ( x ) ( cos ( h ) - 1 )}{h}] = h \to 0 lim - sin (x) \frac{sin ( h )}{h} + h \to 0 lim cos (x) \frac{cos ( h ) - 1}{h} = - sin (x) \cdot h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h} + cos (x) \cdot h \to 0 lim \frac{cos ( h ) - 1}{h} = - sin (x) .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [cos (u)] = - sin (u) \frac{d u}{d x} .$

(26)

3.3. La dérivée de la fonction sécante

Rappel 14 : La définition de la fonction sécante

La fonction sécante est définie comme étant l'inverse multiplicatif de la fonction cosinus. Alors:

 $sec (θ) = \frac{1}{cos ( θ )} .$

(27)

Graphe de la fonction sécante près de l'origine. — Figure 6

La fonction $y = sec (θ)$ .

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = sec (u (x))$ où $f (x) = sec (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . En vertu de la définition de la dérivée par la limite $(1)$ , de la définition de la fonction sécante $(27)$ , de la formule d'addition d'angles de la fonction cosinus $(25)$ et des limites particulières des fonctions sinus $(21)$ et cosinus $(22)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{sec ( x + h ) - sec ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{\frac{1}{cos ( x + h )} - \frac{1}{cos ( x )}}{h} = h \to 0 lim \frac{1}{h} \cdot \frac{cos ( x ) - cos ( x + h )}{cos ( x ) cos ( x + h )} = h \to 0 lim \frac{cos ( x ) - cos ( x ) cos ( h ) + sin ( x ) sin ( h )}{h cos ( x ) cos ( x + h )} = h \to 0 lim [\frac{cos ( x ) - cos ( x ) cos ( h )}{h cos ( x ) cos ( x + h )} + \frac{sin ( x ) sin ( h )}{h cos ( x ) cos ( x + h )}] = h \to 0 lim \frac{cos ( x ) [ 1 - cos ( h )]}{h cos ( x ) cos ( x + h )} + h \to 0 lim \frac{sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x + h )} \cdot \frac{sin ( h )}{h} = h \to 0 lim \frac{1}{cos ( x + h )} \cdot \frac{1 - cos ( h )}{h} + h \to 0 lim \frac{sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x + h )} \cdot \frac{sin ( h )}{h} = \frac{1}{cos ( x )} \cdot h \to 0 lim \frac{1 - cos ( h )}{h} + \frac{sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )} \cdot h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h} = \frac{sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )} = sec (x) tan (x) .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [sec (u)] = sec (u) tan (u) \frac{d u}{d x} .$

(28)

Autrement, au moyen de la définition de la fonction sécante $(27)$ , de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ , de la formule de dérivation d'une fonction de puissance $(12)$ et de la dérivée de la fonction cosinus $(26)$ :

 $\frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} [sec (x)] = \frac{d}{d x} [cos (x)^{- 1}] = - cos (x)^{- 2} \frac{d}{d x} [cos (x)] = - cos (x)^{- 2} \cdot - sin (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x ) cos ( x )} = sec (x) tan (x) .$

Alors, la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ nous permet d'exprimer $\frac{d}{d x} [f \circ u]$ comme au résultat précédent.

3.4. La dérivée de la fonction cosécante

Rappel 15 : La définition de la fonction cosécante

La fonction cosécante est définie comme étant l'inverse multiplicatif de la fonction sinus. Alors:

 $csc (θ) = \frac{1}{sin ( θ )} .$

(29)

Graphe de la fonction cosécante près de l'origine. — Figure 7

La fonction $y = csc (θ)$ .

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = csc (u (x))$ où $f = csc (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . En vertu de la définition de la dérivée par la limite $(1)$ , de la définition de la fonction cosécante $(29)$ , de la formule d'addition d'angles de la fonction sinus $(23)$ et des limites particulières des fonctions sinus $(21)$ et cosinus $(22)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{csc ( x + h ) - csc ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{\frac{1}{sin ( x + h )} - \frac{1}{sin ( x )}}{h} = h \to 0 lim \frac{1}{h} \cdot \frac{sin ( x ) - sin ( x + h )}{sin ( x ) sin ( x + h )} = h \to 0 lim \frac{sin ( x ) - sin ( x ) cos ( h ) - sin ( h ) cos ( x )}{h sin ( x ) sin ( x + h )} = h \to 0 lim [\frac{sin ( x ) - sin ( x ) cos ( h )}{h sin ( x ) sin ( x + h )} - \frac{sin ( h ) cos ( x )}{h sin ( x ) sin ( x + h )}] = h \to 0 lim \frac{sin ( x ) [ 1 - cos ( h )]}{h sin ( x ) sin ( x + h )} - h \to 0 lim \frac{cos ( x )}{sin ( x ) sin ( x + h )} \cdot \frac{sin ( h )}{h} = h \to 0 lim \frac{1}{sin ( x + h )} \cdot \frac{1 - cos ( h )}{h} - h \to 0 lim \frac{cos ( x )}{sin ( x ) sin ( x + h )} \cdot \frac{sin ( h )}{h} = \frac{1}{sin ( x )} \cdot h \to 0 lim \frac{1 - cos ( h )}{h} - \frac{cos ( x )}{sin ( x ) sin ( x )} \cdot h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h} = - \frac{cos ( x )}{sin ( x ) sin ( x )} = - csc (x) cot (x) .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [csc (u)] = - csc (u) cot (u) \frac{d u}{d x} .$

(30)

Autrement, au moyen de la définition de la fonction cosécante $(29)$ , de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ , de la formule de dérivation d'une fonction de puissance $(12)$ et de la dérivée de la fonction sinus $(24)$ :

 $\frac{d f}{d x} = \frac{d}{d x} [csc (x)] = \frac{d}{d x} [sin (x)^{- 1}] = - sin (x)^{- 2} \frac{d}{d x} [sin (x)] = - sin (x)^{- 2} cos (x) = - \frac{cos ( x )}{sin ( x ) sin ( x )} = - csc (x) cot (x) .$

Alors, la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ nous permet d'exprimer $\frac{d}{d x} [f \circ u]$ comme au résultat précédent.

3.5. La dérivée de la fonction tangente

Rappel 16 : La définition de la fonction tangente

La fonction tangente est définie comme étant le quotient des fonctions sinus et cosinus. Alors:

 $tan (θ) = \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} .$

(31)

Graphe de la fonction tangente près de l'origine. — Figure 8

La fonction $y = tan (θ)$ .

Rappel 17 : La relation de Pythagore des fonctions tangente et sécante

En divisant la relation de Pythagore des fonctions sinus et cosinus $(20)$ par $cos^{2} (x) :$

 $tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x) .$

(32)

Rappel 18 : La formule d'addition et de soustraction d'angles de la fonction tangente

Soient $α$ et $β$ deux angles quelconques. Alors:

 $tan (α \pm β) = \frac{tan ( α ) \pm tan ( β )}{1 \mp tan ( α ) tan ( β )}$

(33)

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = tan (u (x))$ où $f (x) = tan (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . En vertu de la définition de la dérivée par la limite $(1)$ , de la formule d'addition d'angles de la fonction tangente $(33)$ , de la définition de la fonction tangente $(31)$ , de la relation de Pythagore des fonctions tangente et sécante $(32)$ et de la limite particulière de la fonction sinus $(21)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{tan ( x + h ) - tan ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{\frac{tan ( x ) + tan ( h )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} - tan ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{1}{h} \cdot \frac{tan ( x ) + tan ( h ) - tan ( x ) + tan ^{2} ( x ) tan ( h )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = h \to 0 lim \frac{1}{h} \cdot \frac{tan ( h ) + tan ^{2} ( x ) tan ( h )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = h \to 0 lim \frac{tan ( h )}{h} \cdot \frac{1 + tan ^{2} ( x )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h cos ( h )} \cdot \frac{sec ^{2} ( x )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = h \to 0 lim \frac{1}{cos ( h )} \cdot \frac{sin ( h )}{h} \cdot \frac{sec ^{2} ( x )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = h \to 0 lim \frac{1}{cos ( h )} \cdot h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h} \cdot h \to 0 lim \frac{sec ^{2} ( x )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = sec^{2} (x) h \to 0 lim \frac{1}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = sec^{2} (x) .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [tan (u)] = sec^{2} (u) \frac{d u}{d x} .$

(34)

Autrement, en vertu de la définition de la fonction tangente $(31)$ , de la formule de dérivation du quotient de deux fonctions, de la définition de la fonction sécante $(27)$ et des formules de dérivation des fonctions sinus $(24)$ et cosinus $(26)$ :

 $\frac{d}{d x} [tan (x)] = \frac{d}{d x} [\frac{sin ( x )}{cos ( x )}] = \frac{\frac{d}{d x} [ sin ( x )] cos ( x ) - sin ( x ) \frac{d}{d x} [ cos ( x )]}{cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x ) - [ - sin ( x )] sin ( x )}{cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )} = sec^{2} (x) .$

Alors, la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ nous permet d'exprimer $\frac{d}{d x} [f \circ u]$ comme au résultat précédent.

3.6. La dérivée de la fonction cotangente

Rappel 19 : La définition de la fonction cotangente

La fonction cotangente est définie comme étant l'inverse multiplicatif de la fonction tangente. Alors:

 $cot (θ) = \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} .$

(35)

Graphe de la fonction cotangente près de l'origine. — Figure 9

La fonction $y = cot (θ)$ .

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = cot (u (x))$ où $f (x) = cot (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . En vertu de la définition de la fonction cotangente $(35)$ , de la formule d'addition d'angles de la fonction tangente $(33)$ , de la définition de la fonction tangente $(31)$ , de la limite particulière de la fonction sinus $(21)$ et de la définition des fonctions sécante $(27)$ et cosécante $(29)$ :

 $\frac{d f}{d x} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{cot ( x + h ) - cot ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{\frac{1}{tan ( x + h )} - \frac{1}{tan ( x )}}{h} = h \to 0 lim \frac{1}{h} \cdot \frac{tan ( x ) - tan ( x + h )}{tan ( x ) tan ( x + h )} = h \to 0 lim \frac{1}{h} \cdot \frac{tan ( x ) - \frac{tan ( x ) + tan ( h )}{1 - tan ( x ) tan ( h )}}{tan ( x ) tan ( x + h )} = h \to 0 lim \frac{1}{h} \cdot \frac{1}{tan ( x ) tan ( x + h )} \cdot \frac{tan ( x ) - tan ^{2} ( x ) tan ( h ) - tan ( x ) - tan ( h )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = h \to 0 lim \frac{1}{h} \cdot \frac{1}{tan ( x ) tan ( x + h )} \cdot \frac{tan ( h ) [ - tan ^{2} ( x ) - 1 ]}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = h \to 0 lim \frac{tan ( h )}{h} \cdot \frac{1}{tan ( x ) tan ( x + h )} \cdot \frac{- [ tan ^{2} ( x ) + 1 ]}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h cos ( h )} \cdot \frac{1}{tan ( x ) tan ( x + h )} \cdot \frac{- sec ^{2} ( x )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h} \cdot \frac{1}{cos ( h ) tan ( x ) tan ( x + h )} \cdot \frac{- sec ^{2} ( x )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h} \cdot h \to 0 lim \frac{1}{cos ( h ) tan ( x ) tan ( x + h )} \cdot h \to 0 lim \frac{- sec ^{2} ( x )}{1 - tan ( x ) tan ( h )} = \frac{1}{tan ( x ) tan ( x )} \cdot - sec^{2} (x) = - \frac{sec ^{2} ( x )}{tan ^{2} ( x )} = - csc^{2} (x) .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [cot (u)] = - csc^{2} (u) \frac{d u}{d x} .$

(36)

Autrement, en vertu de la définition de la fonction cotangente $(35)$ , de la formule de dérivation du quotient de deux fonctions $(7)$ , de la relation de Pythagore des fonctions sinus et cosinus $(20)$ et de la définition de la fonction cosécante $(29)$ :

 $\frac{d}{d x} [cot (x)] = \frac{d}{d x} [\frac{cos ( x )}{sin ( x )}] = \frac{\frac{d}{d x} [ cos ( x )] sin ( x ) - cos ( x ) \frac{d}{d x} [ sin ( x )]}{sin ^{2} ( x )} = \frac{- sin ( x ) sin ( x ) - cos ( x ) cos ( x )}{sin ^{2} ( x )} = - \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} = - \frac{1}{sin ^{2} ( x )} = - csc^{2} (x) .$

Alors, la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ nous permet d'exprimer $\frac{d}{d x} [f \circ u]$ comme au résultat précédent.

4. Les formules de dérivation des fonctions trigonométriques inverses

Les formules de dérivation des fonctions trigonométriques inverses permettent de résoudre des intégrales qu'on retrouve fréquemment.

\frac{d}{d x} [arcsin (u)] = \frac{1}{1 - u ^{2}} \cdot \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [arccos (u)] = - \frac{1}{1 - u ^{2}} \cdot \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [arcsec (u)] = \frac{1}{∣ u ∣ u ^{2} - 1} \cdot \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [arccsc (u)] = - \frac{1}{∣ u ∣ u ^{2} - 1} \cdot \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [arctan (u)] = \frac{1}{u ^{2} + 1} \cdot \frac{d u}{d x}

\frac{d}{d x} [arccot (u)] = - \frac{1}{u ^{2} + 1} \cdot \frac{d u}{d x}

4.1. La dérivée de la fonction arc sinus

Rappel 20 : La fonction arc sinus

La fonction $arcsin : [- 1, 1] \to [- π /2, π /2]$ est la réciproque de la fonction sinus $(18)$ restreinte à $[- π /2, π /2]$ telle que:

 $arcsin (x) = θ ⟺ x = sin (θ) .$

(37)

Graphe de la fonction arc sinus, la réciproque de la fonction sinus définie près de l'origine. — Figure 10

La fonction $arcsin (x)$ .

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = arcsin (u (x))$ où $f (x) = arcsin (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . En vertu de la définition de la fonction arc sinus $(37)$ , l'image de $f$ est $[- π /2, π /2]$ , de sorte que $cos (f)$ est toujours positif puisque la fonction $cos (x)$ est positive pour toutes les valeurs de $x$ comprises dans l'intervalle $[- π /2, π /2]$ . Il en découle qu'à partir de la relation de Pythagore des fonctions sinus et cosinus $(20)$ :

 $sin^{2} (f) + cos^{2} (f) = 1 ⟹ cos^{2} (f) ∣ cos (f) ∣ cos (f) = 1 - sin^{2} (f) = 1 - sin^{2} (f) = 1 - sin^{2} (f) .$

Ce faisant, en vertu de la définition de la fonction arc sinus $(37)$ , de la dérivation implicite, de la formule de dérivation de la fonction sinus $(24)$ et de la relation de Pythagore des fonctions sinus et cosinus $(20)$ :

 $f sin (f) \frac{d}{d x} [sin (f)] cos (f) \cdot \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} = arcsin (x) = x = \frac{d}{d x} [x] = 1 = \frac{1}{cos ( f )} = \frac{1}{1 - [ sin ( f ) ] ^{2}} = \frac{1}{1 - x ^{2}} .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [arcsin (u)] = \frac{1}{1 - u ^{2}} \cdot \frac{d u}{d x} .$

(38)

4.2. La dérivée de la fonction arc cosinus

Rappel 21 : La fonction arc cosinus

La fonction $arccos : [- 1, 1] \to [0, π]$ est la réciproque de la fonction cosinus $(19)$ restreinte à $[0, π]$ telle que:

 $arccos (x) = θ ⟺ x = cos (θ) .$

(39)

Graphe de la fonction arc cosinus, la réciproque de la fonction cosinus définie près de l'origine. — Figure 11

La fonction $arccos (x)$ .

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = arccos (u (x))$ où $f (x) = arccos (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . À partir de la définition de la fonction arc cosinus $(39)$ , il est possible de trouver la dérivée de $f$ de façon analogue à la preuve de la dérivée de la fonction arc sinus $(38)$ . Cependant, il existe une relation entre les fonctions arc sinus et arc cosinus qui simplifie grandement la preuve.

Rappel 22 : La relation entre les fonctions arc sinus et arc cosinus

La fonction cosinus est un déphasage de la fonction sinus. Par conséquent, leurs fonctions réciproques sont aussi déphasées. Au moyen des transformations des fonctions, il est possible de dégager la relation suivante:

 $arccos (x) = \frac{π}{2} - arcsin (x) .$

(40)

Graphe des fonctions arc sinus et arc cosinus, ainsi que les transformations de la fonction arc sinus nécessaires pour obtenir une fonction équivalente à la fonction arc cosinus. — Figure 12

La fonction $f (x) = arccos (x)$ correspond au résultat d'une symétrie selon l'axe des abscisses de la fonction $g (x) = arcsin (x)$ et d'une translation verticale de $+ π /2$ .

En vertu de la relation entre les fonctions arc sinus et arc cosinus $(40)$ et de la formule de dérivation de la fonction arc sinus $(38)$ :

 $\frac{d}{d x} [arccos (u)] = - \frac{1}{1 - u ^{2}} \cdot \frac{d u}{d x} .$

(41)

4.3. La dérivée de la fonction arc sécante

Rappel 23 : La fonction arc sécante

La fonction $arcsec : R ∖ (- 1, 1) \to [0, π] ∖ {π /2}$ est la réciproque de la fonction sécante $(27)$ restreinte à $[0, π] ∖ {π /2}$ telle que:

 $arcsec (x) = θ ⟺ x = sec (θ) .$

(42)

Partant de la définition de la fonction sécante comme l'inverse multiplicatif de la fonction cosinus, la fonction arc sécante peut aussi s'exprimer avec la fonction arc cosinus $(39)$ puisqu'elles ont le même codomaine à l'exception de l'indétermination par l'asymptote horizontale:

 $x = sec (θ) ⟺ \frac{1}{x} = cos (θ) ⟺ arccos (\frac{1}{x}) = θ .$

Graphe de la fonction arc sécante, la réciproque de la fonction sécante définie près de l'origine. — Figure 13

La fonction $arcsec (x)$ .

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = arcsec (u (x))$ où $f (x) = arcsec (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . En vertu de la définition de la fonction arc sécante $(42)$ , l'image de $f$ est $[0, π ∖ {π /2}]$ , de sorte que $tan (f)$ est positive lorsque $x \geq 1$ et est négative lorsque $x \leq - 1$ . De plus, $sec (f)$ est positive lorsque $x \geq 1$ et négative lorsque $x \leq - 1$ . Par conséquent, le produit de $sec (f)$ et $tan (f)$ est positif pour toutes les images de $f :$

 $∣ sec (f) tan (f) ∣ = sec (f) tan (f) \geq 0.$

Ce faisant, en vertu de la définition de la fonction arc sécante $(42)$ , de la dérivation implicite, de la formule de dérivation de la fonction sécante $(28)$ et de la relation de Pythagore des fonctions tangente et sécante $(32)$ :

 $f sec (f) \frac{d}{d x} [sec (f)] sec (f) tan (f) \cdot \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} = arcsec (x) = x = \frac{d}{d x} [x] = 1 = \frac{1}{sec ( f ) tan ( f )} = \frac{1}{∣ sec ( f ) tan ( f ) ∣} = \frac{1}{sec ( f ) tan ^{2} ( f )} = \frac{1}{∣ sec ( f ) ∣ [ sec ( f ) ] ^{2} - 1} = \frac{1}{∣ x ∣ x ^{2} - 1} .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [arcsec (u)] = \frac{1}{∣ u ∣ u ^{2} - 1} \cdot \frac{d u}{d x} .$

(43)

4.4. La dérivée de la fonction arc cosécante

Rappel 24 : La fonction arc cosécante

La fonction $arccsc : R ∖ (- 1, 1) \to [- π /2, π /2] ∖ {0}$ est la réciproque de la fonction cosécante $(29)$ restreinte à $[- π /2, π /2]$ telle que:

 $arccsc (x) = θ ⟺ x = csc (θ) .$

(44)

Partant de la définition de la fonction cosécante comme l'inverse multiplicatif de la fonction sinus, la fonction arc cosécante peut aussi s'exprimer avec la fonction arc sinus $(37)$ puisqu'elles ont le même codomaine à l'exception de l'indétermination par l'asymptote horizontale:

 $x = csc (θ) ⟺ \frac{1}{x} = sin (θ) ⟺ arcsin (\frac{1}{x}) = θ .$

Graphe de la fonction arc cosécante, la réciproque de la fonction cosécante définie près de l'origine. — Figure 14

La fonction $arccsc (x)$ .

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = arccsc (u (x))$ où $f (x) = arccsc (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . À partir de la définition de la fonction arc cosécante $(44)$ , il est possible de trouver la dérivée de $f$ de façon analogue à la preuve de la dérivée de la fonction arc sécante $(43)$ . Cependant, il existe une relation entre les fonctions arc sécante et arc cosécante qui simplifie grandement la preuve.

Rappel 25 : La relation entre les fonctions arc sécante et arc cosécante

La fonction cosécante est un déphasage de la fonction sécante. Par conséquent, leurs fonctions réciproques sont aussi déphasées. Au moyen des transformations des fonctions, il est possible de dégager la relation suivante:

 $arccsc (x) = \frac{π}{2} - arcsec (x) .$

(45)

Graphe des fonctions arc sécante et arc cosécante, ainsi que les transformations de la fonction arc sécante nécessaires pour obtenir une fonction équivalente à la fonction arc cosécante. — Figure 15

La fonction $f (x) = arccsc (x)$ correspond au résultat d'une symétrie selon l'axe des abscisses de la fonction $g (x) = arcsec (x)$ et d'une translation verticale de $+ π /2$ .

En vertu de la relation entre les fonctions arc sécante et arc cosécante $(45)$ et de la formule de dérivation de la fonction arc sécante $(43)$ :

 $\frac{d}{d x} [arccsc (u)] = - \frac{1}{∣ u ∣ u ^{2} - 1} \cdot \frac{d u}{d x} .$

(46)

4.5. La dérivée de la fonction arc tangente

Rappel 26 : La fonction arc tangente

La fonction $arctan : R \to (- π /2, π /2)$ est la réciproque de la fonction tangente $(31)$ restreinte à $(- π /2, π /2)$ telle que:

 $arctan (x) = θ ⟺ x = tan (θ) .$

(47)

Graphe de la fonction arc tangente, la réciproque de la fonction tangente définie près de l'origine. — Figure 16

La fonction $arctan (x)$ .

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = arctan (u (x))$ où $f (x) = arctan (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . En vertu de la définition de la fonction arc tangente $(47)$ , de la dérivation implicite, de la formule de dérivation de la fonction tangente $(34)$ et de la relation de Pythagore des fonctions tangente et sécante $(32)$ :

 $f tan (f) \frac{d}{d x} [tan (f)] sec^{2} (f) \cdot \frac{d f}{d x} \frac{d f}{d x} = arctan (x) = x = \frac{d}{d x} [x] = 1 = \frac{1}{sec ^{2} ( f )} = \frac{1}{[ tan ( f ) ] ^{2} + 1} = \frac{1}{x ^{2} + 1} .$

Par conséquent, en vertu de la formule de dérivation de fonctions composées $(8)$ :

 $\frac{d}{d x} [arctan (u)] = \frac{1}{u ^{2} + 1} \cdot \frac{d u}{d x} .$

(48)

4.6. La dérivée de la fonction arc cotangente

Rappel 27 : La fonction arc cotangente

La fonction $arccot : R \to (0, π)$ est la réciproque de la fonction cotangente $(35)$ restreinte à $(0, π)$ telle que:

 $arccot (x) = θ ⟺ x = cot (θ) .$

(49)

La fonction cotangente étant un déphasage d'une demie période de la fonction tangente ayant subit une symétrie horizontale, la fonction arc cotangente peut aussi s'exprimer avec la fonction arc tangente:

 $arccot (x) = \frac{π}{2} - arctan (x) .$

Graphe de la fonction arc cotangente, la réciproque de la fonction cotangente définie près de l'origine. — Figure 17

La fonction $arccot (x)$ .

Soit la fonction $(f \circ u) (x) = arccot (u (x))$ où $f (x) = arccot (x)$ , telle que $u$ est une fonction dérivable de $x$ . À partir de la définition de la fonction arc cotangente $(49)$ , il est possible de trouver la dérivée de $f$ de façon analogue à la preuve de la dérivée de la fonction arc tangente $(48)$ . Cependant, il existe une relation entre les fonctions arc tangente et arc cotangente qui simplifie grandement la preuve.

Rappel 28 : La relation entre les fonctions arc tangente et arc cotangente

La fonction cotangente est un déphasage de la fonction tangente. Par conséquent, leurs fonctions réciproques sont aussi déphasées. Au moyen des transformations des fonctions, il est possible de dégager la relation suivante:

 $arccot (x) = \frac{π}{2} - arctan (x) .$

(50)

Graphe des fonctions arc tangente et arc cotangente, ainsi que les transformations de la fonction arc tangente nécessaires pour obtenir une fonction équivalente à la fonction arc cotangente. — Figure 18

La fonction $f (x) = arccot (x)$ correspond au résultat d'une symétrie selon l'axe des abscisses de la fonction $g (x) = arctan (x)$ et d'une translation verticale de $+ π /2$ .

En vertu de la relation entre les fonctions arc tangente et arc cotangente $(50)$ et de la formule de dérivation de la fonction arc tangente $(48)$ :

 $\frac{d}{d x} [arccot (u)] = - \frac{1}{u ^{2} + 1} \cdot \frac{d u}{d x} .$

(51)