Les sections coniques: le cercle

Le cercle en tant que section conique correspond à une tranche parallèle à la base d'un cône. C'est une figure géométrique que l'on retrouve partout dans le quotidien.

Définition 1 : Le lieu géométrique du cercle

Le cercle correspond à l'ensemble des points équidistants à un centre.

1. L'équation cartésienne du cercle

Soit $C$ un cercle de rayon $r > 0$ centré à $O (0, 0)$ . Partant du lieu géométrique du cercle, nous pouvons illustrer sur un plan cartésien un point $O$ à l'origine et les points à un distance $r$ de $O$ . Soit $P (x, y) \in C$ . Alors, $P$ est un point à une distance $r$ de $O$ . Cette distance $r$ est constante en vertu du lieu géométrique du cercle. Le cercle, quant à lui, correspond à l'ensemble des points décrits par $P$ en fonction de $x$ et $y$ . Les points $O$ et $P$ décrivent en triangle rectangle avec l'horizontale, où $\overline{OP}$ correspond à l'hypoténuse de longueur $r = d (O, P)$ . En vertu du théorème de Pythagore, il est possible d'exprimer $r$ à l'aide de la formule de la distance entre deux points.

La construction du cercle en tant que conique. — Figure 1

Construction algébrique d'un cercle centré à l'origine.

 $r = d (O, P) = (P_{x} - O_{x})^{2} + (P_{y} - O_{y})^{2} = P_{x}^{2} + P_{y}^{2} = x^{2} + y^{2}$

En élevant de part et d'autre de l'équation au carré, on obtient l'équation d'un cercle de rayon $r$ centré à l'origine.

Théorème 1 : L'équation d'un cercle centré à l'origine

L'équation d'un cercle $C$ centré à l'origine et de rayon $r$ s'exprime:

 $C : x^{2} + y^{2} = r^{2} .$

(1)

$r$ , $x$ et $y$ étant des réels, $r > 0$ , $- r \leq x \leq r$ et $- r \leq y \leq r$ .

Graphe d'un cercle centré à l'origine. — Figure 2

Un cercle centré à l'origine dans le plan cartésien.

Puisqu'un cercle $C$ découlant de l'équation $(1)$ est centré à l'origine, $x$ et $y$ sont tous deux contraints dans l'intervalle $[- r, r]$ . Intuitivement, c'est parce que la distance entre un point sur la circonférence et le centre du cercle est $r$ . Par conséquent, le point d'ordonnée maximale dans $C$ est à $(0, r)$ et le point d'abscisse maximale dans $C$ est à $(r, 0)$ . Pour le démontrer, il suffit d'isoler $x$ ou $y$ dans l'équation $(1)$ .

 $x^{2} + y^{2} y^{2} ∣ y ∣ y = r^{2} = r^{2} - x^{2} = r^{2} - x^{2} = \pm r^{2} - x^{2}$

Puisque l'expression $r^{2} - x^{2}$ est un radicande, il est nécessaire que $r^{2} - x^{2} \geq 0$ , ce qui implique que $x^{2} \leq r^{2}$ . Conséquemment, $∣ x ∣ \leq r ⟹ - r \leq x \leq r$ , d'où la définition de $x$ dans l'équation $(1)$ telle que $x \in [- r, r]$ . Similairement, pour trouver la définition de $y$ , il faudra isoler $x$ dans l'équation $(1)$ .

 $x^{2} + y^{2} x^{2} ∣ x ∣ x = r^{2} = r^{2} - y^{2} = r^{2} - y^{2} = \pm r^{2} - y^{2}$

Alors, en vertu de la définition de la fonction racine carrée, le radicande $r^{2} - y^{2}$ doit être positif.

 $r^{2} - y^{2} y^{2} ∣ y ∣ \geq 0 \leq r^{2} \leq r ⟹ - r \leq y \leq r$

On conclut donc que $y \in [- r, r]$ .

Exemple 1 : Déterminer l'équation d'un cercle centré à l'origine à l'aide de son rayon

Quelle est l'équation canonique d'un cercle centré à l'origine et de rayon $3$ ?

Solution

Puisque le cercle a un rayon de longueur $3$ , alors à partir de l'équation $(1)$ , l'équation recherchée est $x^{2} + y^{2} = 3^{2}$ .

Exemple 2 : Déterminer le domaine et l'image d'un cercle centré à l'origine

Quels sont le domaine et l'image du cercle d'équation $x^{2} + y^{2} = 81$ ?

Solution

À partir de l'équation $(1)$ , $r = 81 = 9$ . Sachant que la valeur minimale de $x$ est $- r$ et que sa valeur maximale est $r$ , alors le domaine du cercle est $[- 9, 9]$ . De même, sachant que $y$ est restreint entre $- r$ et $r$ , l'image du cercle est $[- 9, 9]$ .

1.1. L'équation canonique du cercle

Si le cercle n'est pas centré à l'origine, alors il en revient à dire qu'on y effectue une translation sur le plan cartésien. Pour déterminer l'équation d'un tel cercle, il faudra reprendre la formule de la distance entre deux points et redéfinir le centre du cercle. Soit $Q = (h, k)$ , le centre d'un cercle de rayon $r$ et $P = (x, y)$ décrivant l'ensemble des points sur sa circonférence, tel que $r = d (Q, P)$ .

 $r r = (x_{P} - x_{Q})^{2} + (y_{P} - y_{Q})^{2} = (x - h)^{2} + (y - k)^{2}$

En élevant de part et d'autre l'équation au carré, on obtient l'équation d'un cercle de rayon $r$ centré en $(h, k)$ .

Théorème 2 : L'équation canonique d'un cercle

L'équation d'un cercle $C$ centré en $Q = (h, k)$ et de rayon $r$ s'exprime:

 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2} .$

(2)

$r$ , $h$ , $k$ , $x$ et $y$ étant des réels, $r > 0$ , $h - r \leq x \leq h + r$ et $k - r \leq y \leq k + r$ .

Graphe d'un cercle d'équation canonique dans le plan cartésien. — Figure 3

Le cercle d'équation canonique dans le plan cartésien.

Puisqu'un cercle découlant de l'équation $(2)$ est centré en $(h, k)$ et de rayon $r$ , alors $x$ doit nécessairement être contraint par translation entre $h - r$ et $h + r$ . Similairement, $y$ est compris entre $k - r$ et $k + r$ , les extremums verticaux du cercle. La démonstration de ces affirmations est semblable à celles que nous avons fait en ce qui a trait au cercle d'équation $(1)$ . Il faudra isoler $x$ et $y$ dans l'équation $(2)$ .

 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} (y - k)^{2} ∣ y - k ∣ y - k y = r^{2} = r^{2} - (x - h)^{2} = r^{2} - (x - h)^{2} = \pm r^{2} - (x - h)^{2} = k \pm r^{2} - (x - h)^{2}$

En vertu de la définition de la fonction racine carrée, le radicande $r^{2} - (x - h)^{2}$ doit être positif.

 $r^{2} - (x - h)^{2} (x - h)^{2} ∣ x - h ∣ \geq 0 \leq r^{2} \leq r ⟹ - r \leq x - h \leq r ⟹ h - r \leq x \leq h + r$

Alors, pour un cercle d'équation $(2)$ , $x \in [h - r, h + r]$ . De même manière, pour trouver la définition de $y$ , il faudra isoler $x$ dans l'équation $(2)$ .

 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} (x - h)^{2} ∣ x - h ∣ x - h x = r^{2} = r^{2} - (y - k)^{2} = r^{2} - (y - k)^{2} = \pm r^{2} - (y - k)^{2} = h \pm r^{2} - (y - k)^{2}$

Ainsi, en vertu de la définition de la fonction racine carrée, le radicande $r^{2} - (y - k)^{2}$ doit être positif.

 $r^{2} - (y - k)^{2} (y - k)^{2} ∣ y - k ∣ \geq 0 \leq r^{2} \leq r ⟹ - r \leq y - k \leq r ⟹ k - r \leq y \leq k + r$

Enfin, pour un cercle d'équation $(2)$ , $y \in [k - r, k + r]$ .

Exemple 3 : Déterminer l'équation d'un cercle à partir de son centre et de son rayon

Quelle est l'équation canonique d'un cercle de rayon $4$ centré au point $A = (- 4, 7)$ ?

Solution

À partir de l'équation canonique d'un cercle $(2)$ , si $r = 4$ et $A = (h, k) = (- 4, 7)$ , alors l'équation du cercle est $(x + 4)^{2} + (y - 7)^{2} = 4^{2}$ .

Exemple 4 : Utilisation du domaine d'un cercle d'équation canonique

Existe-t-il un point sur la circonférence d'un cercle d'équation $(x - 2)^{2} + (y + 7)^{2} = 16$ dont l'abscisse est $- 2$ ?

Solution

À partir de l'équation canonique des cercles $(2)$ , $r = 16 = 4$ et $(h, k) = (2, - 7)$ . Sachant que le domaine d'un tel cercle est $[h - r, h + r]$ , nous pouvons vérifier que $- 2 \in [- 2, 6]$ .

2. Le cercle dans le plan cartésien

L'équation du cercle, tout comme celle des autres coniques, est une équation implicite. Par conséquent, il est impossible d'isoler $x$ ou $y$ des équations $(1)$ et $(2)$ de telle sorte que le résultat soit une seule fonction. Nous avons précédemment isolé $x$ et $y$ dans l'équation $(2)$ .

 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} x x = r^{2} = h \pm r^{2} - (y - k)^{2} \in {h + r^{2} - (y - k)^{2}, h - r^{2} - (y - k)^{2}}$

 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} y y = r^{2} = k \pm r^{2} - (x - h)^{2} \in {k + r^{2} - (x - h)^{2}, k - r^{2} - (x - h)^{2}}$

Les fonctions par parties résultantes n'ont pas de domaine qui leur soit unique. En effet, un cercle ne peut pas être une fonction puisqu'il existe plusieurs valeurs d'ordonnée $y$ pour une même valeur d'abscisse $x$ . Cependant, les fonctions résultantes s'avèrent intéressantes: chacune d'entre elles représente une moitié du cercle. Par ce, $x = h + r^{2} - (y - k)^{2}$ décrit la moitié droite du cercle, $x = h - r^{2} - (y - k)^{2}$ décrit sa moitié gauche, $y = k + r^{2} - (x - h)^{2}$ décrit sa moitié haute et $y = k - r^{2} - (x - h)^{2}$ décrit sa moitié basse. Si nous voulions résoudre des équations impliquant des cercles, il nous faudrait considérer un couple d'équations décrivant le cercle et essentiellement effectuer deux fois les mêmes étapes de résolution, ou nous pourrions nous servir de la substitution.

Graphe des courbes explicites en 'x' de l'équation canonique d'un cercle. — Figure 4

Les courbes explicites en $x$ d'un cercle d'équation canonique.

Graphe des courbes explicites en 'y' de l'équation canonique d'un cercle. — Figure 5

Les courbes explicites en $y$ d'un cercle d'équation canonique.

2.1. L'intersection d'un cercle et d'une droite

Soit un cercle d'équation $(2)$ et une droite d'équation $y = m x + b ⟺ x = \frac{y - b}{m}$ . Lorsqu'on cherche le ou les points d'intersection entre une droite et un cercle, il suffit de substituer l'équation de la droite dans celle du cercle. Si $y = m x + b$ , alors il suffit de remplacer $y$ par $m x + b$ dans l'équation $(2)$ .

 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} (x - h)^{2} + (m x + b - k)^{2} = r^{2} = r^{2}$

Si en revanche $x = \frac{y - b}{m}$ , alors il suffit de remplacer $x$ par $\frac{y - b}{m}$ dans l'équation $(2)$ .

 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} (\frac{y - b}{m} - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2} = r^{2}$

Exemple 5 : Intersection d'un cercle et d'une droite en deux points

Soit un cercle d'équation $(x - 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ et une droite d'équation $y = - 2 x + 10$ . Quels sont leurs points d'intersection s'il y en a?

Solution

Il suffit de substituer l'équation de la droite dans celle du cercle pour éliminer une des variables manquantes.

 $(x - 5)^{2} + (y - 2)^{2} (x - 5)^{2} + (- 2 x + 10 - 2)^{2} (x - 5)^{2} + (- 2 x + 8)^{2} (x^{2} - 10 x + 25) + (4 x^{2} - 32 x + 64) 5 x^{2} - 10 x - 32 x + 64 5 x (x - 2) - 32 (x - 2) (5 x - 32) (x - 2) = 25 = 25 = 25 = 25 = 0 = 0 = 0$

Ici, l'équation $(5 x - 32) (x - 2) = 0$ est satisfaite si $5 x - 32 = 0$ ou $x - 2 = 0$ . Par conséquent:

 $x \in {\frac{32}{5}, 2} .$

Connaissant l'abscisse des points de la solution, il ne reste plus qu'à substituer leur valeur dans l'équation de la droite.

 $y = - 2 x + 10 = - 2 (\frac{32}{5}) + 10 = - \frac{64}{5} + 10 = \frac{50 - 64}{5} = - \frac{14}{5}$

 $y = - 2 x + 10 = - 2 (2) + 10 = 6$

Les points d'intersection entre la droite et le cercle sont donc $(\frac{32}{5}, - \frac{14}{5})$ et $(2, 6)$ .

Exemple d'intersection entre un cercle et une droite en deux points. — Figure 6

Réponse à l'exemple.

Exemple 6 : L'intersection d'un cercle et d'une droite en un point

Soit un cercle d'équation $x^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ et une droite d'équation $y - 2 x = 6$ . Quels sont leurs points d'intersection s'il y en a?

Solution

Il suffit d'isoler $x$ ou $y$ dans l'équation de la droite et de substituer l'équation résultante dans l'équation du cercle pour éliminer une des variables manquantes.

 $y - 2 x y = 6 = 6 + 2 x$

 $x^{2} + (y - 1)^{2} x^{2} + (6 + 2 x - 1)^{2} x^{2} + (5 + 2 x)^{2} x^{2} + 25 + 20 x + 4 x^{2} 5 x^{2} + 20 x + 25 x^{2} + 4 x + 5 x^{2} + 4 x + 4 (x + 2)^{2} x + 2 x = 5 = 5 = 5 = 5 = 5 = 1 = 0 = 0 = 0 = - 2$

Connaissant l'abscisse du point de la solution, il ne reste plus qu'à la substituer dans l'équation de la droite.

 $y y y = 6 + 2 x = 6 + 2 (- 2) = 2$

Le point d'intersection entre la droite et le cercle est donc $(- 2, 2)$ .

Exemple d'intersection entre un cercle et une droite en un point. — Figure 7

Réponse à l'exemple.

Exemple 7 : L'intersection entre un cercle et une droite sans solution

Soit un cercle d'équation $x^{2} + (y - 5)^{2} = 4$ et une droite d'équation $y = x + 1$ . Quels sont leurs points d'intersection s'il y en a?

Solution

Il suffit de substituer l'équation de la droite dans celle du cercle pour éliminer une des variables manquantes.

 $x^{2} + (y - 5)^{2} x^{2} + (x + 1 - 5)^{2} x^{2} + (x - 4)^{2} x^{2} + x^{2} - 8 x + 16 2 x^{2} - 8 x + 12 x^{2} - 4 x + 6 x = 4 = 4 = 4 = 4 = 0 = 0 = \frac{4 \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 16 - 24}{2} = \frac{4 \pm - 8}{2}$

Puisque le discriminant de l'équation $x^{2} - 4 x + 6 = 0$ est négatif, il n'y a pas de solutions à l'équation. Par conséquent, il n'y a pas de point d'intersection entre le cercle et la droite.

Exemple d'intersection entre un cercle et une droite sans solution. — Figure 8

Réponse à l'exemple.

2.2. La droite tangente à un cercle

Définition 2 : Les droites tangentes

Une droite tangente à une courbe n'a qu'un point d'intersection avec la courbe dans un voisinage local.

Les droites tangentes à n'importe quel cercle sont particulières. Soit un cercle quelconque et un segment de droite reliant son centre à un point sur sa circonférence. Une droite ne pourra être tangente à ce point sur la circonférence que si la droite et le segment de droite sont perpendiculaires.

Théorème 3 : La droite tangente à un cercle

Une droite $T$ tangente en un point $P$ sur la circonférence d'un cercle centré en $Q$ est perpendiculaire au segment de droite $\overline{QP}$ .

Preuve

Supposons par contradiction que la droite de tangence $T$ n'est pas perpendiculaire au segment de droite $\overline{QP}$ . Soit $S$ le point sur $T$ tel que le segment de droite $\overline{QS}$ est perpendiculaire à $T$ . Puisque la distance minimale entre une droite et un point est sur le segment de droite perpendiculaire à la droite, alors $\overline{QS}$ est un segment de droite plus court que $\overline{QP}$ . On a donc:

 $d (Q, S) < d (Q, P) .$

Tel qu'illustré par le diagramme ci-bas, il existe nécessairement un point $R$ sur la circonférence du cercle tel que $d (Q, S) = d (Q, R) + d (R, S)$ . Cependant, $d (Q, R) = d (Q, P)$ puisque $\overline{QR}$ et $\overline{QP}$ sont tous deux des rayons du cercle. Puisque $d (R, S) > 0$ , on a donc:

 $d (Q, S) = d (Q, R) + d (R, S) = d (Q, P) + d (R, S) > d (Q, P) .$

Nous obtenons donc la contradiction que $d (Q, S) < d (Q, P)$ et $d (Q, S) > d (Q, P)$ doivent être vraies à la fois si la droite de tangence $T$ n'est pas perpendiculaire au segment de droite $\overline{QP}$ . On conclut donc qu'en effet, la droite de tangence $T$ est perpendiculaire au segment de droite $\overline{QP}$ .

Construction d'une preuve de la perpendicularité de la droite tangente à un cercle. — Figure 9

Construction de la preuve. L'angle $∠ QSP$ doit être $90°$ , ce qui ne peut pas être illustré puisque cela est une conséquence du raisonnement par contradiction, qui suppose que $∠ QPS$ n'est pas $90°$ .

En vertu du théorème précédent, il sera possible de déterminer l'équation générale de la droite tangente à un cercle. Considérons un cercle d'équation canonique $(2)$ et un point $P = (x_{P}, y_{P})$ sur sa circonférence. Rappelons-nous aussi que pour une droite d'équation $y = m_{1} x + b$ , le taux de variation d'une droite qui lui est perpendiculaire est $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ . L'équation d'une droite de taux de variation $m$ passant par $P$ est $y - y_{P} = m (x - x_{P})$ . Alors, il est possible de trouver l'équation $y - y_{P} = m_{2} (x - x_{P})$ de la droite tangente au cercle d'équation $(2)$ au point $P$ en partant du centre du cercle $(h, k)$ .

Construction de l'équation générale d'une droite tangente à un cercle. — Figure 10

La construction de l'équation générale de la droite tangente en $P$ au cercle d'équation canonique $(2)$ .

 $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}} = - \frac{1}{\frac{Δ y}{Δ x}} = - \frac{1}{\frac{y _{P} - k}{x _{P} - h}} = - \frac{x _{P} - h}{y _{P} - k}$

 $y - y_{P} = m_{2} (x - x_{P})$

En substituant l'équation de $m_{2}$ dans la dernière équation, on obtient l'équation générale d'une droite tangente en $P$ à un cercle canonique.

Théorème 4 : L'équation générale d'une droite tangente à un cercle canonique

Soit un cercle $C$ d'équation canonique $(2)$ centré en $(h, k)$ . Si le point $P = (x_{P}, y_{P})$ sur la circonférence de $C$ est tangent à une droite $λ$ , alors $P$ est le point de tangence entre $C$ et $λ$ , et l'équation de la droite tangente s'exprime:

 $λ : y = - \frac{x _{P} - h}{y _{P} - k} (x - x_{P}) + y_{P} .$

(3)

Exemple 8 : Déterminer l'équation d'une droite tangente à un cercle

Soit un cercle centré en $Q = (- 3, - 2)$ et le point $P = (- 1, 2)$ sur sa circonférence. Quelle est l'équation de la droite tangente au cercle au point $P$ ?

Solution

Sachant que la droite tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon reliant son centre au point de tangence, alors il faut trouver le taux de variation $m_{1}$ de la droite $\overline{QP}$ .

 $m_{1} = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{P} - y _{Q}}{x _{P} - x _{Q}} = \frac{2 - - 2}{- 1 - - 3} = \frac{4}{2} = 2$

Connaissant la relation entre les taux de variation de droites perpendiculaires $m_{1} = - \frac{1}{m _{2}}$ , et l'équation d'une droite passant par un point $(x_{1}, y_{1})$ étant $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , l'équation de la droite tangente au cercle est:

 $y - y_{P} y - 2 y = m_{2} (x - x_{P}) = - \frac{1}{2} (x - - 1) = - \frac{1}{2} (x + 1) + 2 = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} .$

Exemple de détermination de l'équation de la droite tangente à un cercle connaissant son centre et le point de tangence. — Figure 11

Réponse à l'exemple.

Exemple 9 : Déterminer l'équation d'un cercle à l'aide de la perpendicularité de la tangente au rayon

Soit une droite d'équation $2 x + 3 y = 30$ tangente à un cercle centré en $Q = (4, k)$ . Si le point de tangence entre la droite et le cercle est $P = (6, 6)$ , quelle est l'équation du cercle?

Solution

Le premier élément du problème que nous cherchons est la valeur de $k$ . En vertu de la perpendicularité de la droite tangente au cercle par rapport au segment reliant le point de tangence et le centre du cercle, alors $\overline{QP}$ est perpendiculaire à la droite $2 x + 3 y = 30$ . Réécrivons la droite sous forme canonique $y = m_{2} x + b$ .

 $2 x + 3 y 3 y y = 30 = - 2 x + 30 = - \frac{2}{3} x + 10$

La droite perpendiculaire $y = m_{1} x + b$ à cette dernière s'obtient à partir de la relation entre leur taux de variation et du point $P$ .

 $m_{1} = - \frac{1}{m _{2}} = - \frac{1}{- \frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$

 $y - y_{1} y - 6 y = m (x - x_{1}) = m_{1} (x - 6) = \frac{3}{2} (x - 6) + 6 = \frac{3}{2} x - 9 + 6 = \frac{3}{2} x - 3$

Cette droite intersecte le point de tangence $P$ ainsi que le centre du cercle $Q = (4, k)$ .

 $y = \frac{3}{2} x - 3 = \frac{3}{2} \cdot 4 - 3 = 6 - 3 = 3$

Alors, $Q = (4, 3)$ . Le second élément du problème qu'il nous faut trouver à présent est la valeur du rayon $r = d (Q, P)$ , ou plutôt $r^{2}$ pour l'équation du cercle.

 $r r^{2} = (x_{P} - x_{Q})^{2} + (y_{P} - y_{Q})^{2} = (x_{P} - x_{Q})^{2} + (y_{P} - y_{Q})^{2} = (6 - 4)^{2} + (6 - 3)^{2} = 4 + 9 = 13$

À partir de l'équation canonique du cercle $(2)$ , la réponse est:

 $(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 13.$

Exemple de détermination de l'équation d'un cercle à partir de l'équation de sa tangente, le point de tangence et une coordonnée du centre du cercle. — Figure 12

Réponse à l'exemple.

Exemple 10 : Déterminer l'équation d'un cercle à partir des équations de deux tangentes

Quelle est l'équation du cercle tangent à la droite $y = \frac{3}{4} x + \frac{7}{4}$ en $P = (3, 4)$ et tangent à la droite $4 x - 3 y = 49$ en $M = (10, - 3)$ ?

Solution

La droite perpendiculaire à une droite tangente à un cercle intersecte son centre. Connaissant l'équation de deux droites tangentes, l'intersection de leur droite perpendiculaire partant de leur point de tangence auront pour solution le centre du cercle. Il faut trouver les équations de ces droites perpendiculaires.

Pour déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à $y = \frac{3}{4} x + \frac{7}{4}$ passant par le point $P = (3, 4) :$

 $m_{1} = - \frac{1}{m _{2}} = - \frac{1}{\frac{3}{4}} = - \frac{4}{3}$

 $y - y_{P} y - 4 y = m_{1} (x - x_{P}) = - \frac{4}{3} (x - 3) = - \frac{4}{3} (x - 3) + 4 = - \frac{4}{3} x + 4 + 4 = - \frac{4}{3} x + 8.$

Pour déterminer l'équation de la droite perpendiculaire à $4 x - 3 y = 49$ passant par le point $M = (10, - 3) :$

 $4 x - 3 y - 3 y y = 49 = - 4 x + 49 = \frac{4}{3} x - \frac{49}{3}$

 $m_{1} = - \frac{1}{m _{2}} = - \frac{1}{\frac{4}{3}} = - \frac{3}{4}$

 $y - y_{M} y - (- 3) y + 3 y = m_{1} (x - x_{M}) = - \frac{3}{4} (x - 10) = - \frac{3}{4} x + \frac{30}{4} = - \frac{3}{4} x + \frac{15}{2} - 3 = - \frac{3}{4} x + \frac{15 - 6}{2} = - \frac{3}{4} x + \frac{9}{2} .$

Il faut désormais résoudre le système d'équations linéaires $⎩ ⎨ ⎧ y = - \frac{4}{3} x + 8 y = - \frac{3}{4} x + \frac{9}{2}$ .

 $- \frac{4}{3} x + 8 \frac{3}{4} x - \frac{4}{3} x \frac{9 - 16}{12} x \frac{- 7}{12} x x = - \frac{3}{4} x + \frac{9}{2} = \frac{9}{2} - 8 = \frac{9 - 16}{2} = \frac{- 7}{2} = \frac{- 7}{2} \cdot \frac{12}{- 7} = 6$

 $y = - \frac{4}{3} x + 8 = - \frac{4}{3} \cdot 6 + 8 = - 8 + 8 = 0$

Alors, les coordonnées du centre du cercle sont $Q = (6, 0)$ . Il faut maintenant trouver la valeur de son rayon $r$ , qui équivaut à la longueur des segments $\overline{QP}$ et $\overline{QM}$ .

 $r r^{2} = d (Q, P) = (x_{P} - x_{Q})^{2} + (y_{P} - y_{Q})^{2} = (3 - 6)^{2} + (4 - 0)^{2} = 9 + 16 = 25$

À partir de l'équation canonique du cercle $(2)$ , la réponse est:

 $(x - 6)^{2} + y^{2} = 25.$

Exemple de détermination de l'équation d'un cercle tangent en deux points distincts sur deux droites sécantes. — Figure 13

Réponse à l'exemple.

2.3. Les inéquations et le cercle

Partant de la définition du lieu géométrique du cercle, la région délimitée à l'intérieur d'un cercle de rayon $r$ et centre $O$ correspond à l'ensemble des points $P$ dont la distance $d (O, P)$ au centre est inférieure à $r$ .

Graphe de la région délimitée par l'inéquation de relation plus petite que le rayon d'un cercle d'équation canonique. — Figure 14

Le graphe de l'inéquation $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} < r^{2}$ , qui décrit la région délimitée à l'intérieur du cercle en excluant sa circonférence.

Graphe de la région délimitée par l'inéquation de relation plus petite que ou égale au rayon d'un cercle d'équation canonique. — Figure 15

Le graphe de l'inéquation $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} \leq r^{2}$ , qui décrit la région délimitée à l'intérieur du cercle en incluant sa circonférence.

Graphe de la région délimitée par l'inéquation de relation plus grande que le rayon d'un cercle d'équation canonique. — Figure 16

Le graphe de l'inéquation $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} > r^{2}$ , qui décrit la région délimitée à l'extérieur du cercle en excluant sa circonférence.

Graphe de la région délimitée par l'inéquation de relation plus grande que ou égale au rayon d'un cercle d'équation canonique. — Figure 17

Le graphe de l'inéquation $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} \geq r^{2}$ , qui décrit la région délimitée à l'extérieur du cercle en incluant sa circonférence.

Un truc pour déterminer la région délimitée par l'inéquation d'un cercle est de l'évaluer au point $Q = (h, k)$ , le centre du cercle. Ce faisant, si l'inéquation est vérifiée, c'est-à-dire qu'elle est vraie pour le couple $(x, y)$ donné, alors l'inéquation comprend l'intérieur du cercle. Autrement, elle comprend son extérieur.

Exemple 11 : Un point compris dans une inéquation de cercle

Le point $P = (- 7, - 1)$ est-il compris dans la région délimitée par l'inéquation $(x + 5)^{2} + (y + 3)^{2} \leq 20$ ?

Solution

Il suffit d'insérer les coordonnées du point $P$ dans l'inéquation pour voir si le couple de valeurs $(x, y)$ la vérifie.

 $(x + 5)^{2} + (y + 3)^{2} = (- 7 + 5)^{2} + (- 1 + 3)^{2} = (- 2)^{2} + (2)^{2} = 8 \leq 20$

Alors oui, le point $P = (- 7, - 1)$ est compris dans la région de l'inéquation $(x + 5)^{2} + (y + 3)^{2} \leq 20$ .

Exemple d'un point compris dans l'inéquation d'un cercle décrivant son intérieur. — Figure 18

Réponse à l'exemple.

Exemple 12 : Un point non-compris dans une inéquation de cercle

Le point $P = (- 3, 8)$ est-il compris dans la région délimitée par l'inéquation $(x - 1)^{2} + (y - 6)^{2} < 20$ ?

Solution

Il suffit d'insérer les coordonnées du point $P$ dans l'inéquation pour voir si le couple de valeurs $(x, y)$ la vérifie.

 $(x - 1)^{2} + (y - 6)^{2} = (- 3 - 1)^{2} + (8 - 6)^{2} = (- 4)^{2} + (2)^{2} = 20 ≮ 20$

Alors non, le point $P = (- 3, 8)$ n'est pas compris dans la région de l'inéquation $(x - 1)^{2} + (y - 6)^{2} < 20$ .

Exemple d'un point non-compris dans l'inéquation d'un cercle ne comprenant pas sa circonférence. — Figure 19

Réponse à l'exemple.

3. La forme générale de l'équation d'un cercle

La forme générale de l'équation d'un cercle consiste au développement de son équation canonique $(2)$ .

 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} x^{2} - 2 x h + h^{2} + y^{2} - 2 y k + k^{2} - r^{2} x^{2} + y^{2} - 2 h x - 2 k y + h^{2} + k^{2} - r^{2} = r^{2} = 0 = 0$

Ce faisant, l'équation prend la forme suivante:

 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0.$

(4)

qui caractérise toutes les coniques. Telle quelle, l'équation décrit une section conique ayant subit une rotation si $B \neq = 0$ . L'équation générale ne décrit un cercle que lorsque $A = C$ , duquel cas on pourrait annuler les valeurs de $A$ et $C$ en divisant de part et d'autre l'équation par $A$ ce qui nous laisserait avec un coefficient de $1$ pour les termes $x^{2}$ et $y^{2}$ . Ces contraites reviennent à dire que le discriminant $Δ = B^{2} - 4 A C$ doit être négatif, et que $A = C$ . Du développement que nous avons fait plus tôt, on remarque que $D = - 2 h$ , $E = - 2 k$ et $F = h^{2} + k^{2} - r^{2}$ . Il ne vaut pas la peine de mémoriser ces coefficients. Le problème plus intéressant qui surgit lorsqu'on se sert de la forme générale de l'équation d'un cercle, c'est d'en dégager la forme canonique. Pour ce faire, il faudra factoriser l'équation $(4)$ . On aura recours à la complétion du carré, comme nous verrons dans les exemples numériques.

Exemple 13 : Passage de la forme générale à la forme canonique de l'équation d'un cercle

Quelle est l'équation canonique d'un cercle $(2)$ d'équation $x^{2} + y^{2} + 10 x - 6 y = 2$ ?

Solution

On aura recours à la complétion du carré pour factoriser l'équation. Il ne faut pas oublier de répliquer les ajouts que l'on fait de part et d'autre de l'équation.

 $x^{2} + y^{2} + 10 x - 6 y x^{2} + 10 x + y^{2} - 6 y x^{2} + 10 x + (\frac{10}{2})^{2} + y^{2} - 6 y + (\frac{- 6}{2})^{2} (x + 5)^{2} + (y - 3)^{2} (x + 5)^{2} + (y - 3)^{2} (x + 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 2 = 2 = 2 + (\frac{10}{2})^{2} + (\frac{- 6}{2})^{2} = 2 + (5)^{2} + (- 3)^{2} = 2 + 25 + 9 = 36$

La réponse est donc un cercle d'équation $(x + 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 36$ .

Exemple 14 : Passage de la forme canonique à la forme générale de l'équation d'un cercle

Exprimez l'équation du cercle $(x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 2$ sous sa forme générale $(4)$ .

Solution

Il faudra développer l'équation pour en dégager l'équation générale du cercle.

 $(x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 10 y + 25 x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 4 + 25 - 2 x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 27 = 2 = 2 = 0 = 0$

La réponse est donc $x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 27 = 0$ .