Les sections coniques: l'ellipse

L'ellipse en tant que section conique correspond à une tranche oblique d'un cône. C'est un ensemble de points particulier qui, contrairement au cercle, comprend deux points importants nommés foyers. L'ellipse est une figure géométrique remarquable qui permet de modéliser l'orbite des planètes.

Étudions analytiquement l'ellipse en tant que section conique.

Partant du lieu géométrique de l'ellipse, posons les points distincts $F_1$ et $F_2$ comme foyers et le point $P=(x,y)$ sur la courbe de l'ellipse. Soit $2c$, la distance $d(F_1,F_2)$ entre les deux foyers, telle que $c>0$. En vertu du théorème de Pythagore, il est possible d'exprimer les distances $d(P,F_1)$ et $d(P,F_2)$ à l'aide de la formule de la distance entre deux points. Pour simplifier les démarches, posons $O=(0,0)$ comme le point milieu du segment $\overline{F_1{F}_2}$, et l'ordonnée des foyers à $0$, de telle sorte que $F_1=(-c,0)$ et $F_2=(c,0)$. Considérons les coordonnées de $P$ lorsqu'il se retrouve dans l'axe décrit par la droite $\overline{F_1{F}_2}$, en ce sens lorsque $y=0$. S'il existe un point $P=(x,0)$ sur la courbe de l'ellipse tel que $x\in [-c,c]$, alors il est impossible que $y$ soit différent de $0$ pour l'ensemble des points respectant le lieu géométrique de l'ellipse puisque la somme des distances $d(P,F_1)$ et $d(P,F_2)$ augmenterait. Par conséquent, pour $P=(x,0)$ sur la courbe de l'ellipse, $x\in ]-\infty ,-c[\cup ]c,\infty [$. En d'autres mots, il ne peut pas exister à la fois deux points sur la courbe de l'ellipse dont un est compris sur le segment de droite $\overline{F_1{F}_2}$.

À la suite de notre construction, soit $m>0$. Si $x=c+m$, de sorte que $x>c$, alors le point $P=(x,0)$ existe sur la courbe de l'ellipse et se retrouve à droite du foyer $F_2$. Il est alors possible d'exprimer la formule des longueurs entre le point $P$ et les foyers.

$$\begin{array}{rl}d(P,F_1)& =|x_P-x_{F_1}|\\ & =|c+m-(-c)|\\ & =2c+m\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}d(P,F_2)& =|x_P-x_{F_2}|\\ & =|c+m-c|\\ & =m\end{array}$$

Par conséquent, la somme des distances entre le point $P$ et les foyers $F_1$ et $F_2$, qui est constante, vaut $2c+m+m=2c+2m$. Considérons maintenant les coordonnées du point $P=(x,y)$ lorsqu'il se retrouve dans l'axe perpendiculaire à celui décrit par $\overline{F_1{F}_2}$ au point milieu $O$, en ce sens lorsque $x=0$. Si $y=0$, alors $d(P,F_1)+d(P,F_2)=2c<2c+2m$. Conséquemment, la valeur de $y$ doit forcément être différente de $0$, ce qui veut dire qu'il faudra construire des triangles rectangles en $O$ isométriques $△F_{1}OP$ et $△F_{2}OP$ pour décrire les segments $\overline{P{F}_1}$ et $\overline{P{F}_2}$ à l'aide de leur hypoténuse. Soit $b$, la longueur de la petite cathète, qui se trouve sur l'axe des ordonnées, et soit $a$, la longueur d'une des hypoténuses. Le théorème de Pythagore stipule pour cette situation que $c^2+b^2=a^2$. En vertu du lieu géométrique de l'ellipse, $d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a=2c+2m$. Par conséquent, $2a$ correspond à la longueur du grand axe de l'ellipse, reliant les points $(-c-m,0)$ et $(c+m,0)$. La valeur de $2b$, quant à elle, correspond à la longueur du petit axe de l'ellipse.

Nous venons de prouver que toutes ellipses comprennent des dimensions horizontale $2a$ et verticale $2b$ non-nulles, et que $d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a$ si $2a$ est leur plus grand axe. En récapitulatif, soit $P=(x,y)$, $F_1=(-c,0)$, $F_2=(c,0)$ et $c^2+b^2=a^2$. Il ne reste plus qu'à travailler l'équation du lieu géométrique pour en dégager celle d'une ellipse.

$$\begin{array}{rl}2a& =d(P,F_1)+d(P,F_2)\\ & =\sqrt{(x_P-x_{F_1}{)}^2+(y_P-y_{F_1}{)}^2}+\sqrt{(x_P-x_{F_2}{)}^2+(y_P-y_{F_2}{)}^2}\\ & =\sqrt{(x--c{)}^2+(y-0{)}^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+(y-0{)}^2}\\ 2a& =\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\\ \sqrt{(x-c{)}^2+y^2}& =2a-\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\\ {\left(\sqrt{(x-c{)}^2+y^2}\right)}^2& ={\left(2a-\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\right)}^2\\ (x-c{)}^2+y^2& =4a^2-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}+(x+c{)}^2+y^2\\ (x-c{)}^2-(x+c{)}^2& =4a^2-4a\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\\ -4cx& =4a\left(a-\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\right)\\ \frac{-c}{a}x-a& =\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\\ {\left(\sqrt{(x+c{)}^2+y^2}\right)}^2& ={\left(\frac{-c}{a}x-a\right)}^2\\ (x+c{)}^2+y^2& =\frac{c^2}{a^2}{x}^2+2a\frac{c}{a}x+a^2\\ x^2+2cx+c^2+y^2& =\frac{c^2}{a^2}{x}^2+2cx+a^2\\ x^2+c^2+y^2& =\frac{c^2}{a^2}{x}^2+a^2\\ a^2{x}^2+a^2{c}^2+a^2{y}^2& =c^2{x}^2+a^4\\ a^2{x}^2-c^2{x}^2+a^2{y}^2& =a^4-a^2{c}^2\\ x^2(a^2-c^2)+a^2{y}^2& =a^2(a^2-c^2)\\ b^2{x}^2+a^2{y}^2& =a^2{b}^2\end{array}$$

En divisant de part et d'autre l'équation par $a^2{b}^2$, on obtient l'équation d'une ellipse centrée à l'origine.

Théorème 1 : L'équation d'une ellipse centrée à l'origine

L'équation d'une ellipse $\mathcal{E}$ centrée à l'origine, de largeur $2a$ et de hauteur $2b$ s'exprime:

$$\mathcal{E}:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$$

$(1)$

$x$, $y$, $a$ et $b$ étant des réels, $a>0$, $b>0$, $a\ne b$, $-a\le x\le a$ et $-b\le y\le b$.

Les paramètres $a$ et $b$ de l'équation $(1)$ sont positifs et non-nuls puisqu'ils correspondent à des grandeurs géométriques de l'ellipse. Il faut que $a$ soit différent de $b$, puisque dans le cas contraire, l'équation décrirait un cercle d'équation $x^2+y^2=r^2$.

Une ellipse définie par l'équation $(1)$ est centrée à l'origine. Il va donc de soi que son domaine soit $[-a,a]$ puisqu'il s'agit de l'intervalle où on retrouve l'axe horizontal de l'ellipse de longueur $2a$. Pour le démontrer, il suffit d'isoler $y$ dans l'équation $(1)$.

$$\begin{array}{rl}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =1\\ \frac{y^2}{b^2}& =1-\frac{x^2}{a^2}\\ y^2& =b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\\ |y|& =\sqrt{b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)}\\ |y|& =\sqrt{b^2}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\\ y& =\pm b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\end{array}$$

Puisque l'expression $1-\frac{x^2}{a^2}$ est un radicande, il est nécessaire que $1-\frac{x^2}{a^2}\ge 0$, ce qui implique que $\frac{x^2}{a^2}\le 1$, et donc que $x^2\le a^2$. Ce faisant, $|x|\le a⟹-a\le x\le a$, d'où la définition de $x$ dans l'équation $(1)$ telle que $x\in [-a,a]$. Similairement, pour trouver la définition de $y$, il faudra isoler $x$ dans l'équation $(1)$.

$$\begin{array}{rl}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =1\\ \frac{x^2}{a^2}& =1-\frac{y^2}{b^2}\\ x^2& =a^2\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)\\ |x|& =\sqrt{a^2\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)}\\ |x|& =\sqrt{a^2}\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}\\ x& =\pm a\sqrt{1-\frac{y^2}{b^2}}\end{array}$$

Alors, en vertu de la définition de la fonction racine carrée, le radicande $1-\frac{y^2}{b^2}$ doit être positif.

$$\begin{array}{rl}1-\frac{y^2}{b^2}& \ge 0\\ \frac{y^2}{b^2}& \le 1\\ y^2& \le b^2\\ |y|& \le b\\ & ⟹-b\le y\le b\end{array}$$

On conclut donc que $y\in [-b,b]$.

Si l'ellipse n'était pas centrée à l'origine, chacun de ses points aurait subit une translation horizontale de $h$ unités et une translation verticale de $k$ unités. Il en reviendrait à dire que les foyers $F_1$ et $F_2$ auraient pour coordonnées $F_1=(-c+h,k)$ et $F_2=(c+h,k)$ dans notre preuve plus haute. Dégager l'équation d'une ellipse à partir de l'équation $2a=d(P,F_1)+d(P,F_2)$ serait fastidieux, mais de manière analogue à ce que nous avons déjà fait.

En revanche, si nous considérons une ellipse comme un cercle ayant subit une mise à l'échelle dont le ratio est différent de $1:1$ (c'est-à-dire que le cercle a été étiré ou horizontalement ou verticalement), alors l'équation canonique de l'ellipse paraît intuitive.

Théorème 2 : L'équation canonique d'une ellipse

L'équation d'une ellipse $\mathcal{E}$ centrée en $Q=(h,k)$, de largeur $2a$ et de hauteur $2b$ s'exprime:

$$\mathcal{E}:\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$$

$(2)$

$x$, $y$, $a$, $b$, $h$ et $k$ étant des réels, $a>0$, $b>0$, $a\ne b$, $h-a\le x\le h+a$ et $k-b\le y\le k+b$.

Les contraintes sur les paramètres des équations $(1)$ et $(2)$ sont similaires. Par la composition des fonctions, il est possible de substituer $x\leftarrow x-h$ dans l'équation $(1)$ pour conclure que $-a\le x-h\le a⟹h-a\le x\le h+a$. Similairement, en substituant $y\leftarrow y-k$ dans l'équation $(1)$, la contrainte sur les ordonnées de l'ellipse s'exprime $-b\le y-k\le b⟹k-b\le y\le k+b$. Il en revient à appliquer la translation de l'ellipse sur $P=(x,y)$.

Autrement, nous pouvons déduire les intervalles de définition de $x$ et $y$ en les isolant dans l'équation $(2)$.

$$\begin{array}{rl}\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1\\ \frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}\\ (y-k{)}^2& =b^2\left(1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}\right)\\ |y-k|& =\sqrt{b^2\left(1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}\right)}\\ |y-k|& =\sqrt{b^2}\sqrt{1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}}\\ y-k& =\pm b\sqrt{1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}}\\ y& =k\pm b\sqrt{1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}}\end{array}$$

En vertu de la définition de la fonction racine carrée, le radicande $1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}$ doit être positif.

$$\begin{array}{rl}1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}& \ge 0\\ \frac{(x-h{)}^2}{a^2}& \le 1\\ (x-h{)}^2& \le a^2\\ |x-h|& \le a\\ & ⟹-a\le x-h\le a\\ & ⟹h-a\le x\le h+a\end{array}$$

Alors, pour une ellipse d'équation $(2)$, $x\in [h-a,h+a]$. De même manière, pour trouver la définition de $y$, il faudra isoler $x$ dans l'équation $(2)$.

$$\begin{array}{rl}\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1\\ \frac{(x-h{)}^2}{a^2}& =1-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}\\ (x-h{)}^2& =a^2\left(1-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}\right)\\ |x-h|& =\sqrt{a^2\left(1-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}\right)}\\ |x-h|& =\sqrt{a^2}\sqrt{1-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}}\\ x-h& =\pm a\sqrt{1-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}}\\ x& =h\pm a\sqrt{1-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}}\end{array}$$

Ainsi, en vertu de la définition de la racine carrée, le radicande $1-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}$ doit être positif.

$$\begin{array}{rl}1-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}& \ge 0\\ \frac{(y-k{)}^2}{b^2}& \le 1\\ (y-k{)}^2& \le b^2\\ |y-k|& \le b\\ & ⟹-b\le y-k\le b\\ & ⟹k-b\le y\le k+b\end{array}$$

Enfin, pour une ellipse d'équation $(2)$, $y\in [k-b,k+b]$.

$$\begin{array}{rl}\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1\\ \frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}\\ \frac{b^2}{(y-k{)}^2}& =\frac{1}{1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}}\\ b^2& =\frac{(y-k{)}^2}{1-\frac{(x-h{)}^2}{a^2}}\\ & =\frac{(y-4{)}^2}{1-\frac{(x-6{)}^2}{(4\sqrt{10}{)}^2}}\\ & =\frac{(10-4{)}^2}{1-\frac{(16-6{)}^2}{160}}\\ & =\frac{36}{1-\frac{100}{160}}\\ & =\frac{36}{\frac{60}{160}}\\ & =\frac{36}{\frac{3}{8}}\\ & =\frac{36\cdot 8}{3}\\ & =96\end{array}$$

$$\mathcal{E}:\frac{(x-6{)}^2}{160}+\frac{(y-4{)}^2}{96}=1.$$

L'équation de l'ellipse est implicite tout comme celle du cercle. Par conséquent, la résolution de problèmes impliquant les ellipses nécessitera la méthode de substitution, comparaison ou réduction. Cela dit, les ellipses décrites par les équations $(1)$ et $(2)$ sont distinctes lorsque $a>b$ et $a<b$.

Définition 3 : Les ellipses horizontales

Une ellipse est horizontale si dans son expression canonique $(2)$ on a que $a>b$. Cela veut dire que la longueur de son grand axe est $2a$, et que la somme des distances entre un point $P$ sur sa courbe et ses foyers $F_1$ et $F_2$ est $2a$. Par conséquent, l'axe focal de l'ellipse est horizontal.

$$d(F_1,P)+d(F_2,P)=2a$$

Définition 4 : Les ellipses verticales

Une ellipse est verticale si dans son expression canonique $(2)$ on a que $a<b$. Cela veut dire que la longueur de son grand axe est $2b$, et que la somme des distances entre un point $P$ sur sa courbe et ses foyers $F_1$ et $F_2$ est $2b$. Par conséquent, l'axe focal de l'ellipse est vertical.

$$d(F_1,P)+d(F_2,P)=2b$$

Si $c$ correspond à la distance entre le centre de l'ellipse et les foyers $F_1$ et $F_2$, alors sa définition est influencée par la relation entre $a$ et $b$. En effet, en ce qui concerne les ellipses horizontales et verticales, les foyers se retrouvent sur le grand axe.

Considérons une ellipse horizontale d'équation $(2)$ telle que $Q=(h,k)$ et $a>b$. Si $P=(h,k+b)$, le point le plus haut de l'ellipse, alors les triangles $△QP{F}_1$ et $△QP{F}_2$ sont rectangles, et leur hypoténuse correspond à la valeur de $a$, soit la demie de la longueur du grand axe. En vertu du théorème de Pythagore, il convient que $b^2+c^2=a^2$, ce qui implique que $c^2=a^2-b^2$.

Considérons maintenant une ellipse verticale d'équation $(2)$ telle que $Q=(h,k)$ et $a<b$. Si $P=(h-a,k)$, le point le plus à gauche de l'ellipse, alors les triangles $△QP{F}_1$ et $△QP{F}_2$ sont aussi rectangles. Leur hypoténuse correspond cependant à $b$ puisque l'axe le plus grand est vertical. Dans ce cas-ci, en vertu du théorème de Pythagore, $a^2+c^2=b^2$, ce revient à dire que $c^2=b^2-a^2$.

À partir de ces raisonnements, sachant que $c^2=a^2-b^2$ pour les ellipses horizontales et $c^2=b^2-a^2$ pour les ellipses verticales, nous pouvons conclure que $c^2$ correspond à la différence positive entre $a^2$ et $b^2$. En effet, $c$ est une grandeur géométrique, c'est-à-dire qu'elle est positive, alors $c^2>0$. On peut conclure que $c^2=|a^2-b^2|$, et en extrayant la racine de part et d'autre de l'équation, on obtient une formule pour la distance entre le centre d'une ellipse et l'un ou l'autre de ses foyers dans l'équation $(1)$ ou $(2)$.

$$c=\sqrt{|a^2-b^2|}$$

Exemple 6 : Déterminer les coordonnées des foyers d'une ellipse d'équation canonique

Quelles sont les coordonnées des foyers $F_1$ et $F_2$ d'une ellipse d'équation $\frac{(x-7{)}^2}{32}+\frac{(y-6{)}^2}{16}=1$?

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Solution

À partir de l'équation canonique de l'ellipse $(2)$, nous pouvons constater que $\frac{(x-7{)}^2}{32}+\frac{(y-6{)}^2}{16}=1$ décrit une ellipse horizontale centrée en $Q=(7,6)$, puisque $a^2=32⟹a=4\sqrt{2}$ et $b^2=16⟹b=4$, ce qui implique que $a>b$. Par conséquent, les foyers $F_1$ et $F_2$ se retrouvent sur l'axe horizontal de l'ellipse, ce qui implique que le segment de droite $\overline{F_1{F}_2}$ est horizontal. Il en revient à dire que $F_1=(h-c,k)$ et $F_2=(h+c,k)$, puisque $d(F_1,Q)=d(Q,F_2)=c$. À partir de la formule de la distance entre le centre et un foyer d'une ellipse $(3)$,

$$\begin{array}{rl}c& =\sqrt{|a^2-b^2|}\\ & =\sqrt{|32-16|}\\ & =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$$

Par conséquent, $F_1=(h-c,k)=(3,6)$ et $F_2=(h+c,k)=(11,6)$.

Exemple 7 : Déterminer l'équation d'une ellipse à l'aide des coordonnées de ses foyers

Quelle est l'équation canonique d'une ellipse dont les foyers sont $F_1=(-5,6)$ et $F_2=(-5,-4)$ si $a=3$?

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Solution

Le segment de droite $\overline{F_1{F}_2}$ est vertical puisque $x_{F_1}=x_{F_2}$, ce qui implique que l'ellipse est verticale. Par conséquent, $a<b$, et donc $a^2<b^2$, de telle sorte que $|a^2-b^2|=-(a^2-b^2)$. Le point milieu des foyers $F_1$ et $F_2$ correspond au centre $Q=(h,k)$ de l'ellipse. Alors, $Q=\left(-5,\frac{y_{F_1}+y_{F_2}}{2}\right)=(-5,1)$.

Sachant que $c$ correspond à la distance entre l'un ou l'autre des foyers et $Q$, alors $c=5$. Il sera possible de déterminer la valeur de $b^2$ à l'aide de la formule de la distance entre le centre d'une ellipse et ses foyers $(3)$.

$$\begin{array}{rl}c& =\sqrt{|a^2-b^2|}\\ c^2& =|a^2-b^2|\\ & =-(a^2-b^2)\\ & =b^2-a^2\\ b^2& =c^2+a^2\\ & =5^2+3^2\\ & =34\end{array}$$

Enfin, à partir de l'équation canonique des ellipses $(2)$, l'équation de l'ellipse est $\frac{(x+5{)}^2}{9}+\frac{(y-1{)}^2}{34}=1$.

Soit une ellipse d'équation $(2)$ et une droite d'équation $y=mx+b⟺x=\frac{y-b}{m}$. Lorsqu'on cherche le ou les points d'intersection entre une droite et une ellipse, il suffit de substituer l'équation de la droite dans celle de l'ellipse. Si $y=mx+b$, alors il suffit de remplacer $y$ par $mx+b$ dans l'équation $(2)$.

$$\begin{array}{rl}\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1\\ \frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(mx+b-k{)}^2}{b^2}& =1\end{array}$$

Si en revanche $x=\frac{y-b}{m}$, alors il suffit de remplacer $x$ par $\frac{y-b}{m}$ dans l'équation $(2)$.

$$\begin{array}{rl}\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1\\ \frac{{\left(\frac{y-b}{m}-h\right)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1\end{array}$$

Exemple 8 : L'intersection d'une ellipse et d'une droite en deux points

Quels sont les points d'intersection entre l'ellipse d'équation $\frac{x^2}{45}+\frac{(y-4{)}^2}{9}=1$ et la droite d'équation $y=-\frac{2}{5}x+4$ s'il y en a?

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Solution

Il suffit de substituer l'équation de la droite dans celle de l'ellipse pour éliminer une des variables manquantes.

$$\begin{array}{rl}\frac{x^2}{45}+\frac{(y-4{)}^2}{9}& =1\\ \frac{x^2}{45}+\frac{{\left(-\frac{2}{5}x+4-4\right)}^2}{9}& =1\\ \frac{x^2}{45}+\frac{{\left(-\frac{2}{5}x\right)}^2}{9}& =1\\ \frac{x^2}{45}+\frac{1}{9}{\left(-\frac{2}{5}\right)}^2{x}^2& =1\\ \frac{x^2}{45}+\frac{1}{9}\cdot \frac{4}{25}{x}^2& =1\\ x^2\left(\frac{1}{45}+\frac{4}{9\cdot 25}\right)& =1\\ x^2\left(\frac{5}{225}+\frac{4}{225}\right)& =1\\ x^2\left(\frac{9}{225}\right)& =1\\ x^2& =\frac{225}{9}\\ |x|& =\frac{15}{3}\\ x& \in \{-5,5\}\end{array}$$

Connaissant les valeurs d'abscisses des points d'intersection entre la droite et l'ellipse, il ne reste plus qu'à les substituer dans l'équation de la droite.

$$\begin{array}{rl}y& =-\frac{2}{5}x+4\\ & =-\frac{2}{5}\cdot 5+4\\ & =2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}y& =-\frac{2}{5}x+4\\ & =-\frac{2}{5}\cdot -5+4\\ & =6\end{array}$$

Les points d'intersection entre la droite et l'ellipse sont donc $(-5,6)$ et $(5,2)$.

Exemple 9 : L'intersection d'une ellipse et d'une droite en un point

Quelles sont les coordonnées du point de tangence $P$ de la droite $y=\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}$ et de l'ellipse d'équation $\frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{(y-6{)}^2}{18}=1$?

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Solution

Sachant que $P$ est un point de tangence, il ne devrait y avoir qu'un seul point d'intersection entre la droite et l'ellipse. Il faut substituer l'équation de la droite dans celle de l'ellipse.

$$\begin{array}{rl}\frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{(y-6{)}^2}{18}& =1\\ \frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{{\left(\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}-6\right)}^2}{18}& =1\\ \frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{{\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\right)}^2}{18}& =1\\ \frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{{\left(\frac{1}{2}(x+5)\right)}^2}{18}& =1\\ \frac{(x-4{)}^2}{9}+\frac{(x+5{)}^2}{72}& =1\\ 72\frac{(x-4{)}^2}{9}+(x+5{)}^2& =72\\ 8(x-4{)}^2+(x+5{)}^2& =72\\ 8(x^2-8x+16)+(x^2+10x+25)& =72\\ 9x^2-54x+81& =0\\ 9(x^2-6x+9)& =0\\ (x-3{)}^2& =0\\ x& =3\end{array}$$

Il ne reste plus qu'à substituer l'abscisse du point de tangence dans l'équation de la tangente pour trouver son ordonnée.

$$\begin{array}{rl}y& =\frac{1}{2}x+\frac{17}{2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{17}{2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{17}{2}\\ & =\frac{20}{2}\\ & =10\end{array}$$

Alors, le point de tangence entre la droite et l'ellipse est $P=(3,10)$.

Exemple 10 : L'intersection d'une ellipse et d'une droite sans solution

Quelles sont les coordonnées des points d'intersection entre la droite $y=5x$ et l'ellipse d'équation $(x+2{)}^2+\frac{(y+1{)}^2}{10}=1$?

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Solution

Il suffit de substituer l'équation de la droite dans celle de l'ellipse pour éliminer une des variables inconnues.

$$\begin{array}{rl}(x+2{)}^2+\frac{(y+1{)}^2}{10}& =1\\ (x+2{)}^2+\frac{(5x+1{)}^2}{10}& =1\\ (x^2+4x+4)+\frac{(25x^2+10x+1)}{10}& =1\\ \frac{10x^2+40x+40}{10}+\frac{25x^2+10x+1}{10}& =1\\ 10x^2+40x+40+25x^2+10x+1& =10\\ 35x^2+50x+31& =0\\ x& =\frac{-50\pm \sqrt{50^2-4\cdot 35\cdot 31}}{2\cdot 35}\\ & =\frac{-50\pm \sqrt{2500-4340}}{70}\\ & =\frac{-50\pm \sqrt{-1840}}{70}\end{array}$$

Puisque le discriminant de l'équation $35x^2+50x+31=0$ est négatif, il n'y a pas de solutions à l'équation. Par conséquent, il n'y a pas de point d'intersection entre l'ellipse et la droite.

Le latus rectum d'une ellipse correspond à la longueur d'un segment de droite compris dans sa courbe. Le segment doit être perpendiculaire au plus grand axe de l'ellipse, et il doit passer par l'un ou l'autre de ses foyers.

Considérons une ellipse horizontale d'équation $(1)$ telle que $a>b$. Nous savons que $c$ vaut la distance entre le centre $O$ de l'ellipse et l'un ou l'autre de ses foyers. Soit les foyers $F_1=(-c,0)$ et $F_2=(c,0)$ de l'ellipse. Le couple de points délimitant le latus rectum passant par $F_1$ correspond à l'équation de l'ellipse évaluée avec $x=-c$. Similairement, le couple de points délimitant le latus rectum passant par $F_2$ se trouve par l'évaluation de l'équation de l'ellipse lorsque $x=c$. Puisque l'ellipse est symétrique par rapport à ses axes, il n'y aura qu'une seule valeur du latus rectum de l'ellipse. Soit $A$ et $B$, les points sur la courbe de l'ellipse délimitant le latus rectum passant par $F_1$. On constate que $x_A=x_B=x_{F_1}$. Sachant que la relation de Pythagore dans une ellipse horizontale est $c^2=a^2-b^2$, on peut déterminer la valeur des ordonnées de $A$ et $B$.

$$\begin{array}{rl}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =1\\ \frac{(-c{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =1\\ \frac{c^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =1\\ \frac{y^2}{b^2}& =1-\frac{c^2}{a^2}\\ y^2& =b^2\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)\\ |y|& =\sqrt{b^2\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)}\\ |y|& =b\sqrt{1-\frac{c^2}{a^2}}\\ y& =\pm b\sqrt{\frac{1}{a^2}(a^2-c^2)}\\ & =\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-c^2}\\ & =\pm \frac{b}{a}\sqrt{b^2}\\ & =\pm \frac{b^2}{a}\end{array}$$

Par conséquent, $A=\left(-c,\frac{b^2}{a}\right)$ et $B=\left(-c,-\frac{b^2}{a}\right)$. La distance entre ces points correspond à la valeur du latus rectum de l'ellipse horizontale. La translation de l'ellipse vers un centre $Q=(h,k)$ n'affecterait pas cette valeur, puisque $a$ et $b$ sont indépendants de $h$ et $k$.

Théorème 3 : Le latus rectum des ellipses horizontales

Soit une ellipse horizontale $\mathcal{E}$ satisfaisant l'équation

$$\mathcal{E}:\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$$

et telle que $a>b$. La grandeur de son latus rectum $LR$ s'exprime par la formule:

$$LR=\frac{2b^2}{a}.$$

$(4)$

Considérons maintenant une ellipse verticale d'équation $(1)$ telle que $a<b$. La distance entre l'un ou l'autre des foyers $F_1$ et $F_2$ et le centre $O$ de l'ellipse correspond toujours à $c$, cependant leur coordonnées sont $F_1=(0,c)$ et $F_2=(0,-c)$. Le couple de points délimitant le latus rectum passant par $F_1$ correspond à l'équation de l'ellipse évaluée lorsque $y=c$. Similairement, le couple de points du latus rectum passant par $F_2$ se trouve par l'évaluation de l'équation de l'ellipse lorsque $y=-c$. L'ellipse étant symétrique par rapport à ses axes, on ne s'intéresse qu'à un des couples de points. Soit $A$ et $B$, les points sur la courbe de l'ellipse délimitant le latus rectum passant par $F_1$. On constate que $y_A=y_B=y_{F_1}$. Sachant que la relation de Pythagore dans une ellipse verticale est $c^2=b^2-a^2$, on peut déterminer la valeur des ordonnées de $A$ et $B$.

$$\begin{array}{rl}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}& =1\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}& =1\\ \frac{x^2}{a^2}& =1-\frac{c^2}{b^2}\\ x^2& =a^2\left(1-\frac{c^2}{b^2}\right)\\ |x|& =\sqrt{a^2\left(1-\frac{c^2}{b^2}\right)}\\ |x|& =a\sqrt{1-\frac{c^2}{b^2}}\\ x& =\pm a\sqrt{\frac{1}{b^2}(b^2-c^2)}\\ & =\pm \frac{a}{b}\sqrt{b^2-c^2}\\ & =\pm \frac{a}{b}\sqrt{a^2}\\ & =\pm \frac{a^2}{b}\end{array}$$

Par conséquent, $A=\left(-\frac{a^2}{b},c\right)$ et $B=\left(\frac{a^2}{b},c\right)$. La distance entre ces points correspond à la valeur du latus rectum de l'ellipse verticale. La translation de l'ellipse vers un centre $Q=(h,k)$ n'affecterait pas cette valeur, puisque $a$ et $b$ sont indépendants de $h$ et $k$.

Théorème 4 : Le latus rectum des ellipses verticales

Soit une ellipse verticale $\mathcal{E}$ satisfaisant l'équation

$$\mathcal{E}:\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$$

et telle que $a<b$. La grandeur de son latus rectum $LR$ s'exprime par la formule:

$$LR=\frac{2a^2}{b}.$$

$(5)$

Puisque le latus rectum des ellipses horizontales vaut $\frac{2b^2}{a}$ et celui des ellipses verticales vaut $\frac{2a^2}{b}$, nous pourrions dire qu'en général le latus rectum des ellipses correspond au double du carré de la longueur du plus petit axe, le tout divisé par la longueur du plus grand axe.

$$LR=\frac{2(\min \{a,b\}{)}^2}{\max \{a,b\}}$$

Il existe un développement de cette dernière formule, mais elle ne serait pratique. Nous pourrions cependant écrire:

$$LR=\{\begin{array}{ll}\frac{2a^2}{b}& a>b\\ \frac{2b^2}{a}& a<b.\end{array}$$